Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
& 5 x^prime=(rr 4 & -2 8 & -4 ) x+binomt^-3-t^-2, t>0

Passo 1

Primeiro, o enunciado pede pra gente achar a solução geral do sistema não-homogêneo x' = A,x + g(t), onde
A = 4 & -2 8 & -4, g(t)=t^-3 -t^-2, t>0
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a parte homogênea e depois uma solução particular (variação de constantes).

Passo 2

Para a parte homogênea x'=Ax calculamos os autovalores de A:
det(A-lambda I)=(4-lambda)(-4-lambda)-(-2)cdot8=lambda^2=0,
logo lambda=0 (multiplicidade 2).
Resolvendo A v=0 achamos o autovetor v=(1,2)^T. Como falta um segundo autovetor, buscamos o vetor generalizado w tal que A w=v, por exemplo w=(0,-tfrac12)^T.
Assim duas soluções fundamentais são
$$x^{(1)}(t)=v,\quad x^{(2)}(t)=t,v+w,
x^(1)(t)=v, x^(2)(t)=t,v+w, çãêé\mathbf{x}_h(t)=C_1v + C_2\bigl(t,v+w\bigr).
$$

Passo 3

Montamos a matriz fundamental
X(t)=[x^(1);x^(2)]=1 & t 2 & 2t-tfrac12
Calculamos X^-1(t) (com det X=-tfrac12) e aplicamos variação de constantes:
u'(t)=X^-1(t),g(t)
Fazendo o produto vem
$$u’_1= t{-3}-4t{-2}-2t^{-1},\quad u’_2=4t{-3}+2t{-2}.
$$

Passo 4

Integrando essas derivadas, tomando constantes de integração zero para a particular,
$$u_1(t)=\int u’_1dt=-\tfrac12t{-2}+4t{-1}-2\ln t,\quad u_2(t)=\int u’_2dt=-2t{-2}-2t{-1}.
u1(t)=integral u'1dt=-tfrac12t^-2+4t^-1-2ln t, u2(t)=integral u'2dt=-2t^-2-2t^-1 ãçãé\mathbf{x}_p(t)=X(t)u(t)=u_1 xp(t)=X(t)u(t)=u112+u2t2t-tfrac12 +u_2 xp,1=-tfrac12t^-2+2t^-1-2-2ln t, xp,2=5t^-1-4-4ln t .
x_{p,1}=-\tfrac12t{-2}+2t{-1}-2-2\ln t,\quad x_{p,2}=5t^{-1}-4-4\ln t.
$$

Passo 5

Por fim, a solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
$$\boxed{\mathbf{x}(t)=C_1 boxedx(t)=C112+C2t2t-tfrac12+-tfrac12t^-2+2t^-1-2-2ln t5t^-1-4-4ln t, C1,C2inR +C_2 + ,\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.}
$$

Resposta

x(t)=C112+C2t2t-tfrac12+-tfrac12t^-2+2t^-1-2-2ln t5t^-1-4-4ln t, C1,C2inR

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