Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
Passo 1
Primeiro, o enunciado pede pra gente achar a solução geral do sistema não-homogêneo
, onde
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a parte homogênea e depois uma solução particular (variação de constantes).
Passo 2
Para a parte homogênea
calculamos os autovalores de
:
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Resolvendo
Assim duas soluções fundamentais são
$$x^{(1)}(t)=v,\quad x^{(2)}(t)=t,v+w,
$$
Passo 3
Montamos a matriz fundamental
Calculamos
(com
) e aplicamos variação de constantes:
Fazendo o produto vem
$$u’_1= t{-3}-4t{-2}-2t^{-1},\quad u’_2=4t{-3}+2t{-2}.
$$
Passo 4
Integrando essas derivadas, tomando constantes de integração zero para a particular,
$$u_1(t)=\int u’_1dt=-\tfrac12t{-2}+4t{-1}-2\ln t,\quad u_2(t)=\int u’_2dt=-2t{-2}-2t{-1}.
$$
Passo 5
Por fim, a solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
$$\boxed{\mathbf{x}(t)=C_1
+C_2
+
,\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.}
$$