Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n-1)! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela também converge. No nosso caso, a série dos valores absolutos seria sumn=1^infty |(-1)^n+1 1(2n-1)!| = sumn=1^infty 1(2n-1)!.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série sumn=1^infty 1(2n-1)! converge. Sabemos que os fatoriais crescem muito rápido. Por exemplo, 5! = 120, 10! = 3,628,800, e assim por diante. Como os denominadores da nossa série crescem super rápido, os termos ficam muito pequenos conforme n aumenta.

Passo 4

Para confirmar, podemos lembrar que a série sumk=0^infty 1k! é a expansão da função exponencial e^1 = e, que converge para um número finito. Nossa série sumn=1^infty 1(2n-1)! é uma parte dessa série, apenas considerando os termos com índices ímpares. Portanto, ela também converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n-1)! é absolutamente convergente. Não precisamos analisar mais nada, pois a convergência absoluta implica na convergência da série original.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n-1)! é absolutamente convergente.

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