Calcule aa integral e o limite abaixo, se existirem.
\int \frac{d x}{1+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{1+\cos x}.
Informações importantes que temos:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{1+\cos x}.
  • Devemos lembrar que a expressão pode ficar indefinida quando o denominador for zero. Vamos identificar isso mais adiante.
  • A resposta pedida é uma primitiva (integral indefinida). Também vou verificar limites relevantes (pontos em que o denominador se anula) para ver se existem comportamentos especiais.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil e simples: a fórmula do cosseno de ângulo duplo.
\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-1.
Reescrevendo, obtemos
1+\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicando devagar: essa identidade diz que o cosseno de x pode ser expresso em termos do cosseno de x/2. Aqui \cos^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right) significa \big(\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)\big)^2. Essa transformação é muito útil porque simplifica o denominador da integral.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral:
\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\,dx.
Agora usamos uma substituição simples: seja u=\tfrac{x}{2}. Então du=\tfrac{1}{2}\,dx ou dx=2\,du.
Substituindo:
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^2(u)\cdot 2\,du = \int \operatorname{sec}^2(u)\,du.
Sabendo que a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^2 u, temos
\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \tan u + C.
Voltando à variável x (lembre que u=\tfrac{x}{2}):
\int \frac{dx}{1+\cos x} = \tan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Comentário didático rápido: a razão de funcionar tão bem é que a identidade transformou a fração numa função cuja primitiva é conhecida e simples ( \tan tem derivada \operatorname{sec}^2). Em prova: reconhecer 1+\cos x=2\cos^2(x/2) é um padrão útil.

Passo 4

Discussão do domínio e dos pontos problemáticos. O denominador 1+\cos x anula quando \cos x=-1, isto é, para
x=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos a função \dfrac{1}{1+\cos x} não está definida. A primitiva encontrada \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C também não está definida nesses pontos (porque \tan tem assimptotas quando o cosseno do argumento é zero). Portanto a primitiva é válida apenas em intervalos que não contenham nenhum ponto x=(2k+1)\pi. Na prática, a resposta \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C vale em cada intervalo aberto entre duas singularidades consecutivas.

Passo 5

Comportamento limite nos pontos singulares.
  • Para a função integranda:
    considere x_0=(2k+1)\pi e escreva x=x_0+h com h\to 0. Usando a expansão \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h=-1+\tfrac{h^2}{2}+o(h^2), obtém-se
1+\cos x \approx \frac{h^2}{2}\quad\text{quando }h\to 0.
Logo
\frac{1}{1+\cos x}\approx \frac{2}{h^2}\to +\infty.
Portanto
\lim_{x\to(2k+1)\pi}\frac{1}{1+\cos x}=+\infty.
  • Para a primitiva \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right):
\lim_{x\to(2k+1)\pi^-}\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = +\infty, \qquad \lim_{x\to(2k+1)\pi^+}\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = -\infty
ou vice-versa dependendo do k (o comportamento de sinal vem do sinal do pequeno h em x=x_0+h). Em todo caso a primitiva tem descontinuidades do tipo assimptótico nessas abscissas.
  • Consequência para integrais impróprias: qualquer integral definida cujo intervalo contenha um ponto x=(2k+1)\pi como interior será divergente (o integrando tem uma singularidade não-integrável do tipo 1/h^2 que gera divergência).

Passo 6

Exemplo prático para fixar o uso: calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x}. Usando a primitiva,
\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x} = \left.\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/2} = \tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\tan 0 = 1-0 = 1.
Isso ilustra: sempre que o intervalo de integração não alcançar uma das singularidades (2k+1)\pi, pode-se aplicar a primitiva normalmente.

Resposta

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\cos x}=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C
\displaystyle \lim_{x\to(2k+1)\pi}\frac{1}{1+\cos x}=+\infty

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