Calcule aa integral e o limite abaixo, se existirem. \int \frac{d x}{1+\cos x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{1+\cos x}.
Informações importantes que temos:
A função a integrar é \dfrac{1}{1+\cos x}.
Devemos lembrar que a expressão pode ficar indefinida quando o denominador for zero. Vamos identificar isso mais adiante.
A resposta pedida é uma primitiva (integral indefinida). Também vou verificar limites relevantes (pontos em que o denominador se anula) para ver se existem comportamentos especiais.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil e simples: a fórmula do cosseno de ângulo duplo.
\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-1.
Reescrevendo, obtemos
1+\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicando devagar: essa identidade diz que o cosseno de x pode ser expresso em termos do cosseno de x/2. Aqui \cos^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right) significa \big(\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)\big)^2. Essa transformação é muito útil porque simplifica o denominador da integral.
Sabendo que a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^2 u, temos
\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \tan u + C.
Voltando à variável x (lembre que u=\tfrac{x}{2}):
\int \frac{dx}{1+\cos x} = \tan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Comentário didático rápido: a razão de funcionar tão bem é que a identidade transformou a fração numa função cuja primitiva é conhecida e simples (\tan tem derivada \operatorname{sec}^2). Em prova: reconhecer 1+\cos x=2\cos^2(x/2) é um padrão útil.
Passo 4
Discussão do domínio e dos pontos problemáticos. O denominador 1+\cos x anula quando \cos x=-1, isto é, para
x=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos a função \dfrac{1}{1+\cos x} não está definida. A primitiva encontrada \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C também não está definida nesses pontos (porque \tan tem assimptotas quando o cosseno do argumento é zero). Portanto a primitiva é válida apenas em intervalos que não contenham nenhum ponto x=(2k+1)\pi. Na prática, a resposta \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C vale em cada intervalo aberto entre duas singularidades consecutivas.
Passo 5
Comportamento limite nos pontos singulares.
Para a função integranda:
considere x_0=(2k+1)\pi e escreva x=x_0+h com h\to 0. Usando a expansão \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h=-1+\tfrac{h^2}{2}+o(h^2), obtém-se
1+\cos x \approx \frac{h^2}{2}\quad\text{quando }h\to 0.
ou vice-versa dependendo do k (o comportamento de sinal vem do sinal do pequeno h em x=x_0+h). Em todo caso a primitiva tem descontinuidades do tipo assimptótico nessas abscissas.
Consequência para integrais impróprias: qualquer integral definida cujo intervalo contenha um ponto x=(2k+1)\pi como interior será divergente (o integrando tem uma singularidade não-integrável do tipo 1/h^2 que gera divergência).
Passo 6
Exemplo prático para fixar o uso: calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x}. Usando a primitiva,