Considere o seguinte sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 0,78000 x_{1}-0,56300 x_{2}=0,21700 \\\\ 0,91300 x_{1}-0,65900 x_{2}=0,25400 \end{array}\right.
a) Se \tilde{x}_{1}=(0,34100 ;-0,08700) e \tilde{x}_{2}=(0,99900 ;-1,00100) são duas soluções aproximadas, qual das duas é a melhor? Justifique sua resposta.
b) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais.
c) Qual é a solução exata deste sistema? Este sistema é bem condicionado? justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (coeficientes e termos independentes):
\begin{cases} 0,78000\,x_{1}-0,56300\,x_{2}=0,21700,\\[4pt] 0,91300\,x_{1}-0,65900\,x_{2}=0,25400. \end{cases}
O enunciado pede:
(a) comparar duas soluções aproximadas \tilde{x}_{1}=(0,34100;\,-0,08700) e \tilde{x}_{2}=(0,99900;\,-1,00100) e dizer qual é a melhor, justificando;
(b) resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais;
(c) encontrar a solução exata do sistema e discutir se o sistema é bem condicionado, com justificativa.]

Passo 2

O que é uma “boa” solução aproximada? Explicação didática (sem pular etapas).
  • Definição prática: uma solução aproximada \tilde{x} é melhor que outra se o resíduo \mathbf{r}=b-A\tilde{x} for menor. O resíduo mede quanto a aproximação falha ao satisfazer as equações originais.
  • Matematicamente, para A\in\mathbb{R}^{2\times2}, x\in\mathbb{R}^2 e b\in\mathbb{R}^2, \mathbf{r}=b-A\tilde{x},onde A=\begin{pmatrix}0,78000 & -0,56300\\[2pt]0,91300 & -0,65900\end{pmatrix} e b=(0,21700;\,0,25400).
  • Podemos comparar os resíduos por alguma norma. Vou usar a norma euclidiana (2-norma), que é a raiz da soma dos quadrados das componentes do resíduo: \|\mathbf{r}\|_2=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}.
Agora calculo explicitamente os resíduos para as duas aproximações (mostrando todas as contas):
Para \tilde{x}_{1}=(0,34100;\,-0,08700):
Calcular A\tilde{x}_{1}:
\begin{aligned} \text{(componente 1)}\quad &0,78000\cdot0,34100+(-0,56300)\cdot(-0,08700) \\\ &=0,26598+0,048981=0,314961. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{(componente 2)}\quad &0,91300\cdot0,34100+(-0,65900)\cdot(-0,08700)\\\ &=0,311333+0,057333=0,368666. \end{aligned}
Resíduo \mathbf{r}^{(1)}=b-A\tilde{x}_{1}:
\mathbf{r}^{(1)}=\begin{pmatrix}0,21700-0,314961\\[4pt]0,25400-0,368666\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0,097961\\[4pt]-0,114666\end{pmatrix}.
Norma euclidiana:
\|\mathbf{r}^{(1)}\|_2=\sqrt{(-0,097961)^{2}+(-0,114666)^{2}} \approx\sqrt{0,009593+0,013145} \approx\sqrt{0,022738}\approx0,15079.
Para \tilde{x}_{2}=(0,99900;\,-1,00100):
Calcular A\tilde{x}_{2}:
\begin{aligned} \text{(componente 1)}\quad &0,78000\cdot0,99900+(-0,56300)\cdot(-1,00100)\\\ &=0,77922+0,563563=1,342783, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{(componente 2)}\quad &0,91300\cdot0,99900+(-0,65900)\cdot(-1,00100)\\\ &=0,912087+0,659659=1,571746. \end{aligned}
Resíduo \mathbf{r}^{(2)}=b-A\tilde{x}_{2}:
\mathbf{r}^{(2)}=\begin{pmatrix}0,21700-1,342783\\[4pt]0,25400-1,571746\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1,125783\\[4pt]-1,317746\end{pmatrix}.
Norma euclidiana:
\|\mathbf{r}^{(2)}\|_2=\sqrt{(-1,125783)^{2}+(-1,317746)^{2}} \approx\sqrt{1,2674+1,7362}\approx\sqrt{3,0036}\approx1,732.
Comparação: \|\mathbf{r}^{(1)}\|_2\approx0,15079 e \|\mathbf{r}^{(2)}\|_2\approx1,732. Como a norma do resíduo de \tilde{x}_{1} é muito menor, \tilde{x}_{1} é claramente a melhor aproximação.]

Passo 3

Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais em cada quantidade resultante (mostrarei cada operação e arredondamentos).
Matriz aumentada inicial (mostrei os números do enunciado):
\left[\begin{array}{cc|c} 0,78000 & -0,56300 & 0,21700\\[4pt] 0,91300 & -0,65900 & 0,25400 \end{array}\right].
Pivoteamento parcial na coluna 1: comparar |0,78000| e |0,91300|. O maior em módulo é 0,91300 (linha 2), então trocamos linha 1 com linha 2.
Depois da troca:
\left[\begin{array}{cc|c} 0,91300 & -0,65900 & 0,25400\\[4pt] 0,78000 & -0,56300 & 0,21700 \end{array}\right].
Eliminação abaixo do pivô (pivô a_{11}=0,91300):
Calcular multiplicador m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}}=\dfrac{0,78000}{0,91300}.
Divisão com 5 casas decimais: m_{21}=0,85433 (arredondei para 5 casas decimais).
Atualizar linha 2: linha2 := linha2 - m_{21} \timeslinha1. Faço cada componente e arredondo a 5 casas decimais:
  • Nova entrada (2,1): 0,78000 - 0,85433\cdot0,91300.
    0,85433\cdot0,91300\approx0,78000\quad\Rightarrow\quad 0,78000-0,78000=0,00000\\ \text{(5 d.p.)}.
  • Nova entrada (2,2): -0,56300 - 0,85433\cdot(-0,65900) = -0,56300 + 0,85433\cdot0,65900.
    0,85433\cdot0,65900\approx0,56300347\\ \Rightarrow\\ \text{arredondando a 5 d.p. }0,56300.
    Logo -0,56300+0,56300=0,00000 (5 d.p.).
  • Novo termo independ.: 0,21700 - 0,85433\cdot0,25400.
    0,85433\cdot0,25400\approx0,21699982\\ \Rightarrow\\ \text{arredondando a 5 d.p. }0,21700.
    Assim 0,21700-0,21700=0,00000.
Após a eliminação (com todos os resultados arredondados a 5 casas decimais), a matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 0,91300 & -0,65900 & 0,25400\\[4pt] 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 \end{array}\right].
Interpretação do resultado do Gauss (com 5 casas decimais): a segunda linha ficou nula, isto é, restou apenas uma equação não trivial:
0,91300\,x_{1}-0,65900\,x_{2}=0,25400.
Isto significa que, numericamente (com os arredondamentos a 5 casas decimais impostos), o sistema reduziu-se a uma única equação e, portanto, tem infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre t. Resolvendo a equação pivô para x_{1}:
x_{1}=\frac{0,25400+0,65900\,x_{2}}{0,91300}.
Dividindo os termos com 5 casas decimais:
\frac{0,25400}{0,91300}\approx0,27816,\qquad \frac{0,65900}{0,91300}\approx0,72180,
arredondados a 5 casas decimais. Assim a família de soluções (resultado do processo com 5 casas) é
\boxed{x_{1}=0,27816+0,72180\,t,\qquad x_{2}=t\\ \text{(t livre)}.}
Observação prática: se for necessário dar uma solução particular (por ex. para usar em um exercício que espera um vetor), pode-se escolher t=0 e obter x=(0,27816;\,0,00000). Mas é importante entender que essa “infinitude” é uma consequência do arredondamento durante a eliminação: aritmética com 5 casas destruiu o pequeno determinante que garante unicidade.]

Passo 4

Solução exata do sistema (sem arredondar os cálculos intermediários — uso das quantidades dadas como valores exatos). Vou usar a regra de Cramer, que é muito direta para 2\times2:
Se A=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix} e b (termos independentes) denotado por \mathbf{f}=(f_{1};f_{2}), então o determinante é
\Delta = ad-bc,
e
x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta},\qquad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta},
com
\Delta_{1}=f_{1}d-bf_{2},\qquad \Delta_{2}=af_{2}-f_{1}c.
Aplicando ao nosso sistema (tomando todos os números exatamente como dados):
a=0,78000,\\ b=-0,56300,\\ c=0,91300,\\ d=-0,65900,\\ f_{1}=0,21700,\\ f_{2}=0,25400.
Calcular o determinante:
\Delta=0,78000\cdot(-0,65900)-(-0,56300)\cdot0,91300.
Cálculos:
0,78000\cdot(-0,65900)=-0,514020,\qquad (-0,56300)\cdot0,91300=-0,514019.
Portanto
\Delta=-0,514020-(-0,514019)=-0,000001.
Ou seja \Delta=-1\cdot10^{-6} (não é zero, mas é muito pequeno).
Agora \Delta_{1}:
\Delta_{1}=0,21700\cdot(-0,65900)-(-0,56300)\cdot0,25400 =-0,143003-(-0,143002)=-0,000001.
E \Delta_{2}:
\Delta_{2}=0,78000\cdot0,25400-0,21700\cdot0,91300 =0,198120-0,198121=-0,000001.
Logo as razões:
x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-0,000001}{-0,000001}=1, \qquad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-0,000001}{-0,000001}=1.
Verificação direta:
0,78000\cdot1-0,56300\cdot1=0,21700,\qquad 0,91300\cdot1-0,65900\cdot1=0,25400,
ok.
Portanto a solução exata é
\boxed{(x_{1},x_{2})=(1,\,1).}]

Passo 5

Discussão sobre condicionamento (explicação didática e cálculo numérico):
  • Intuição: um sistema está bem condicionado se pequenas variações nos dados (coeficientes ou termos independentes) causam pequenas variações na solução; está mal condicionado (ill-conditioned) se pequenas variações causam grandes mudanças na solução.
  • Uma medida padrão é o número de condição \kappa(A)=\|A\|\;\|A^{-1}\| (para alguma norma). Um \kappa(A) muito grande indica sistema mal condicionado.
  • Aqui percebemos que \Delta (o determinante) é muito pequeno em módulo: |\Delta|=10^{-6}. Isso já indica que A está perto de ser singular e que A^{-1} terá entradas muito grandes — portanto \kappa(A) será grande e o sistema é mal condicionado.
Cálculo numérico aproximado (norma infinito, para dar um número):
\|A\|_{\infty}=\max(\text{soma absoluta da linha 1},\text{linha 2}) =\max(0,78000+0,56300,\\\ 0,91300+0,65900)=\max(1,34300,\\\ 1,57200)=1,57200.
A inversa de A é A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}. Como 1/\Delta=-10^{6}, os elementos de A^{-1} são da ordem de 10^{5} 10^{6}. Estimando norma:
\|A^{-1}\|_{\infty}\approx\max\big(|-0,65900|\cdot10^{6}+|0,56300|\cdot10^{6},\\ |0,91300|\cdot10^{6}+|0,78000|\cdot10^{6}\big)
\approx\max(1{,}222\cdot10^{6},\\\ 1{,}693\cdot10^{6})\approx1{,}693\cdot10^{6}.
Logo um valor aproximado do número de condição:
\kappa_{\infty}(A)\approx1,57200\times1{,}693\cdot10^{6}\approx2{,}66\cdot10^{6}.
Conclusão: \kappa(A) é muito grande (da ordem de milhões), portanto o sistema é fortemente mal condicionado. Consequência prática: operações em aritmética com precisão limitada (por exemplo arredondando para 5 casas decimais) podem destruir o pequeno determinante e fazer com que o método numericamente produza linhas nulas ou soluções totalmente equivocadas — exatamente o que ocorreu no Passo 3. Isso explica por que a eliminação com 5 casas deu uma linha nula e uma família infinita de soluções, embora o sistema exato tenha solução única (1,1).]

Resposta

(a) \tilde{x}_{1}=(0,34100;\,-0,08700) é a melhor aproximação (pois o seu resíduo tem norma \approx0,15079, muito menor que a norma do resíduo de \tilde{x}_{2}, que é \approx1,732).\n
(b) Aplicando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arredondando cada resultado a 5 casas decimais obtém-se a redução
\left[\begin{smallmatrix}0,91300 & -0,65900 & 0,25400\\[2pt]0,00000 & 0,00000 & 0,00000\end{smallmatrix}\right],
ou seja, numericamente (com 5 casas) sobra a equação 0,91300\,x_{1}-0,65900\,x_{2}=0,25400. Assim, com 5 casas decimais o método dá infinitas soluções parametrizadas por t:
x_{1}=0,27816+0,72180\,t,\qquad x_{2}=t\\ (\text{para }t\in\mathbb{R}).
(Em particular, escolhendo t=0 obtém-se a solução particular (0,27816;\,0,00000) no cálculo arredondado.)\n
(c) Solução exata: (x_{1},x_{2})=(1,\,1). O sistema é mal condicionado: o determinante vale \Delta=-10^{-6} e o número de condição é da ordem de 10^{6} (muito grande), o que explica a forte sensibilidade a arredondamentos e a falha prática observada no item (b).]

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