a) Se \tilde{x}_{1}=(0,34100 ;-0,08700) e \tilde{x}_{2}=(0,99900 ;-1,00100) são duas soluções aproximadas, qual das duas é a melhor? Justifique sua resposta.
b) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais.
c) Qual é a solução exata deste sistema? Este sistema é bem condicionado? justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com duas equações e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei todos os números do enunciado).
O enunciado pede:
(a) comparar duas soluções aproximadas \tilde{x}_{1}=(0,34100;\,-0,08700) e \tilde{x}_{2}=(0,99900;\,-1,00100) e dizer qual é a melhor, justificando;
(b) resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais;
(c) encontrar a solução exata do sistema e discutir se o sistema é bem condicionado, com justificativa.]
Passo 2
O que é uma “boa” solução aproximada? Explicação didática (sem pular etapas).
Definição prática: uma solução aproximada \tilde{x} é melhor que outra se o resíduo \mathbf{r}=b-A\tilde{x} for menor. O resíduo mede quanto a aproximação falha ao satisfazer as equações originais.
Matematicamente, para A\in\mathbb{R}^{2\times2}, x\in\mathbb{R}^2 e b\in\mathbb{R}^2,\mathbf{r}=b-A\tilde{x},onde A=\begin{pmatrix}0,78000 & -0,56300\\[2pt]0,91300 & -0,65900\end{pmatrix} e b=(0,21700;\,0,25400).
Podemos comparar os resíduos por alguma norma. Vou usar a norma euclidiana (2-norma), que é a raiz da soma dos quadrados das componentes do resíduo:\|\mathbf{r}\|_2=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}.
Agora calculo explicitamente os resíduos para as duas aproximações (mostrando todas as contas):
Comparação: \|\mathbf{r}^{(1)}\|_2\approx0,15079 e \|\mathbf{r}^{(2)}\|_2\approx1,732. Como a norma do resíduo de \tilde{x}_{1} é muito menor, \tilde{x}_{1} é claramente a melhor aproximação.]
Passo 3
Gauss com pivoteamento parcial, trabalhando com 5 casas decimais em cada quantidade resultante (mostrarei cada operação e arredondamentos).
Matriz aumentada inicial (mostrei os números do enunciado):
Interpretação do resultado do Gauss (com 5 casas decimais): a segunda linha ficou nula, isto é, restou apenas uma equação não trivial:
0,91300\,x_{1}-0,65900\,x_{2}=0,25400.
Isto significa que, numericamente (com os arredondamentos a 5 casas decimais impostos), o sistema reduziu-se a uma única equação e, portanto, tem infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre t. Resolvendo a equação pivô para x_{1}:
Observação prática: se for necessário dar uma solução particular (por ex. para usar em um exercício que espera um vetor), pode-se escolher t=0 e obter x=(0,27816;\,0,00000). Mas é importante entender que essa “infinitude” é uma consequência do arredondamento durante a eliminação: aritmética com 5 casas destruiu o pequeno determinante que garante unicidade.]
Passo 4
Solução exata do sistema (sem arredondar os cálculos intermediários — uso das quantidades dadas como valores exatos). Vou usar a regra de Cramer, que é muito direta para 2\times2:
Se A=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix} e b (termos independentes) denotado por \mathbf{f}=(f_{1};f_{2}), então o determinante é
Discussão sobre condicionamento (explicação didática e cálculo numérico):
Intuição: um sistema está bem condicionado se pequenas variações nos dados (coeficientes ou termos independentes) causam pequenas variações na solução; está mal condicionado (ill-conditioned) se pequenas variações causam grandes mudanças na solução.
Uma medida padrão é o número de condição \kappa(A)=\|A\|\;\|A^{-1}\| (para alguma norma). Um \kappa(A) muito grande indica sistema mal condicionado.
Aqui percebemos que \Delta (o determinante) é muito pequeno em módulo: |\Delta|=10^{-6}. Isso já indica que A está perto de ser singular e que A^{-1} terá entradas muito grandes — portanto \kappa(A) será grande e o sistema é mal condicionado.
Cálculo numérico aproximado (norma infinito, para dar um número):
\|A\|_{\infty}=\max(\text{soma absoluta da linha 1},\text{linha 2}) =\max(0,78000+0,56300,\\\ 0,91300+0,65900)=\max(1,34300,\\\ 1,57200)=1,57200.
A inversa de A é A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}. Como 1/\Delta=-10^{6}, os elementos de A^{-1} são da ordem de 10^{5}–10^{6}. Estimando norma:
Conclusão: \kappa(A) é muito grande (da ordem de milhões), portanto o sistema é fortemente mal condicionado. Consequência prática: operações em aritmética com precisão limitada (por exemplo arredondando para 5 casas decimais) podem destruir o pequeno determinante e fazer com que o método numericamente produza linhas nulas ou soluções totalmente equivocadas — exatamente o que ocorreu no Passo 3. Isso explica por que a eliminação com 5 casas deu uma linha nula e uma família infinita de soluções, embora o sistema exato tenha solução única (1,1).]
Resposta
(a) \tilde{x}_{1}=(0,34100;\,-0,08700) é a melhor aproximação (pois o seu resíduo tem norma \approx0,15079, muito menor que a norma do resíduo de \tilde{x}_{2}, que é \approx1,732).\n
(b) Aplicando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arredondando cada resultado a 5 casas decimais obtém-se a redução
\left[\begin{smallmatrix}0,91300 & -0,65900 & 0,25400\\[2pt]0,00000 & 0,00000 & 0,00000\end{smallmatrix}\right],
ou seja, numericamente (com 5 casas) sobra a equação 0,91300\,x_{1}-0,65900\,x_{2}=0,25400. Assim, com 5 casas decimais o método dá infinitas soluções parametrizadas por t:
(Em particular, escolhendo t=0 obtém-se a solução particular (0,27816;\,0,00000) no cálculo arredondado.)\n
(c) Solução exata: (x_{1},x_{2})=(1,\,1). O sistema é mal condicionado: o determinante vale \Delta=-10^{-6} e o número de condição é da ordem de 10^{6} (muito grande), o que explica a forte sensibilidade a arredondamentos e a falha prática observada no item (b).]