O sistema linear A \mathbf{x}=\mathbf{b}
\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 1.0001 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ 3.0001 \end{array}\right]
tem solução (1,1)^{T}. Mude a matriz A para
\widetilde{A}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 0.9999 & 2 \end{array}\right]
Calcule a nova solução do sistema \widetilde{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} resultante. A matriz A é mal condicionada?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com vetor segundo membro \mathbf{b} e duas matrizes, a original A (para a qual foi informado que a solução é (1,1)^T) e a matriz modificada \widetilde{A}. Quer-se:
  • Calcular a solução do sistema \widetilde{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
\widetilde{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0{,}9999 & 2\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[4pt] 3{,}0001\end{pmatrix}.
  • Responder se a matriz A (a original) é mal condicionada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A solução do sistema original A\mathbf{x}=\mathbf{b} é \mathbf{x}=(1,1)^T.
  • Os coeficientes e o vetor \mathbf{b} são numéricos com muitas casas decimais próximas, o que sugere possível sensibilidade do sistema a pequenas variações.]

Passo 2

Escolha do método: para um sistema 2\times2 o método mais direto e computacionalmente simples é eliminar uma incógnita (eliminação linear) ou usar a fórmula da inversa de 2\times2. Vou usar eliminação (subtração de equações) porque é rápido, pedagógico e fácil de aplicar na prova sem calculadora.
Escrevendo as equações de \widetilde{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}:
\begin{cases} x + 2y = 3,\\[4pt] 0{,}9999\,x + 2y = 3{,}0001. \end{cases}]

Passo 3

Objetivo: eliminar x ou y. Aqui é conveniente eliminar x multiplicando a primeira equação por 0{,}9999 e subtraindo da segunda, porque assim os termos em x se anulam.
Multiplicando a primeira equação por 0{,}9999 obtemos:
0{,}9999\,x + 1{,}9998\,y = 2{,}9997.
Agora subtrai-se essa equação da segunda (segunda menos esta):
(0{,}9999\,x + 2y) - (0{,}9999\,x + 1{,}9998\,y) = 3{,}0001 - 2{,}9997.
No lado esquerdo os termos em x cancelam e sobra:
(2 - 1{,}9998)\,y = 0{,}0004.
Calculando 2 - 1{,}9998 = 0{,}0002, logo:
0{,}0002\,y = 0{,}0004.
Isolando y:
y = \frac{0{,}0004}{0{,}0002} = 2.

Passo 4

Com y=2, substitui-se na primeira equação x + 2y = 3 para obter x:
x + 2\cdot 2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x + 4 = 3 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Assim a nova solução é \mathbf{x} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos explicar didaticamente por que uma pequena mudança em um coeficiente fez a solução mudar muito — isto é o conceito de matriz mal condicionada.
Definição prática (intuitionada): um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} é mal condicionado quando pequenas perturbações em A ou em \mathbf{b} causam grandes mudanças na solução \mathbf{x}. Uma medida matemática dessa sensibilidade é o número de condição \operatorname{cond}(A)=\|A\|\;\|A^{-1}\| (para alguma norma). Se \operatorname{cond}(A) for grande (por exemplo, dezenas de milhares), o sistema é muito sensível.

Passo 6

Calcular rapidamente a determinante e a inversa (para ver por que a sensibilidade é grande). Para a matriz original A=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1{,}0001 & 2\end{bmatrix} o determinante é
\det(A)=1\cdot 2 - 1{,}0001\cdot 2 = 2 - 2{,}0002 = -0{,}0002,
um número muito pequeno em magnitude, indicando que A está quase singular (próxima de não ser invertível). Matrizes quase singulares têm inversas com entradas muito grandes, portanto \|A^{-1}\| grande e \operatorname{cond}(A) grande.
Para ver um valor numérico aproximado do número de condição na norma infinito (fácil de calcular à mão), calculamos:
  • Norma infinito de A: \|A\|_{\infty}=\max\{\text{soma absoluta das linhas}\}. As somas das linhas são 1+2=3 e 1{,}0001+2=3{,}0001, logo
\|A\|_{\infty}=3{,}0001.
  • Inversa de A (fórmula 2\times2): para A=\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix},
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{bmatrix}.
Aplicando a A obtemos (como \det(A)=-0{,}0002):
A^{-1}=\frac{1}{-0{,}0002}\begin{bmatrix}2 & -2\\\\ -1{,}0001 & 1\end{bmatrix} = -5000\begin{bmatrix}2 & -2\\\\ -1{,}0001 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-10000 & 10000\\[4pt]5000{,}5 & -5000\end{bmatrix}.
A norma infinito de A^{-1} é a maior soma absoluta das linhas:
\|A^{-1}\|_{\infty}=\max\{10000+10000,\;5000{,}5+5000\} = 20000.
Assim uma estimativa do número de condição é
\operatorname{cond}_{\infty}(A)\approx \|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty}\approx 3{,}0001\times 20000 \approx 60002\approx 6{,}0\times 10^{4}.]

Passo 7

Interpretação prática: \operatorname{cond}(A)\approx 6{,}0\times10^{4} significa que erros ou perturbações relativos da ordem de 10^{-4} em A podem produzir mudanças relativas da ordem de 1 (ou seja, mudanças grandes) na solução \mathbf{x}. No nosso caso a segunda entrada da segunda linha passou de 1{,}0001 para 0{,}9999, uma variação relativa de cerca de 2\cdot10^{-4}, e o vetor solução mudou de (1,1)^T para (-1,2)^T, uma diferença grande — comportamento típico de matriz mal condicionada.

Passo 8

Conclusão direta e incentivo: encontramos a nova solução explicitamente e mostramos com a estimativa do número de condição que a matriz original é de fato mal condicionada. Respire fundo — esse é o tipo de exemplo clássico que aparece em provas para testar entendimento de sensibilidade e número de condição.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}
Sim. A matriz A é mal condicionada (estimativa \operatorname{cond}_{\infty}(A)\approx 6{,}0\times10^{4}).]

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