Calcule a nova solução do sistema \widetilde{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} resultante. A matriz A é mal condicionada?
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com vetor segundo membro \mathbf{b} e duas matrizes, a original A (para a qual foi informado que a solução é (1,1)^T) e a matriz modificada \widetilde{A}. Quer-se:
Calcular a solução do sistema \widetilde{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
Responder se a matriz A (a original) é mal condicionada.
Informações relevantes fornecidas:
A solução do sistema original A\mathbf{x}=\mathbf{b} é \mathbf{x}=(1,1)^T.
Os coeficientes e o vetor \mathbf{b} são numéricos com muitas casas decimais próximas, o que sugere possível sensibilidade do sistema a pequenas variações.]
Passo 2
Escolha do método: para um sistema 2\times2 o método mais direto e computacionalmente simples é eliminar uma incógnita (eliminação linear) ou usar a fórmula da inversa de 2\times2. Vou usar eliminação (subtração de equações) porque é rápido, pedagógico e fácil de aplicar na prova sem calculadora.
Escrevendo as equações de \widetilde{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}:
Objetivo: eliminar x ou y. Aqui é conveniente eliminar x multiplicando a primeira equação por 0{,}9999 e subtraindo da segunda, porque assim os termos em x se anulam.
Multiplicando a primeira equação por 0{,}9999 obtemos:
0{,}9999\,x + 1{,}9998\,y = 2{,}9997.
Agora subtrai-se essa equação da segunda (segunda menos esta):
Com y=2, substitui-se na primeira equação x + 2y = 3 para obter x:
x + 2\cdot 2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x + 4 = 3 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Assim a nova solução é \mathbf{x} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora vamos explicar didaticamente por que uma pequena mudança em um coeficiente fez a solução mudar muito — isto é o conceito de matriz mal condicionada.
Definição prática (intuitionada): um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} é mal condicionado quando pequenas perturbações em A ou em \mathbf{b} causam grandes mudanças na solução \mathbf{x}. Uma medida matemática dessa sensibilidade é o número de condição \operatorname{cond}(A)=\|A\|\;\|A^{-1}\| (para alguma norma). Se \operatorname{cond}(A) for grande (por exemplo, dezenas de milhares), o sistema é muito sensível.
Passo 6
Calcular rapidamente a determinante e a inversa (para ver por que a sensibilidade é grande). Para a matriz original A=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1{,}0001 & 2\end{bmatrix} o determinante é
um número muito pequeno em magnitude, indicando que A está quase singular (próxima de não ser invertível). Matrizes quase singulares têm inversas com entradas muito grandes, portanto \|A^{-1}\| grande e \operatorname{cond}(A) grande.
Para ver um valor numérico aproximado do número de condição na norma infinito (fácil de calcular à mão), calculamos:
Norma infinito de A: \|A\|_{\infty}=\max\{\text{soma absoluta das linhas}\}. As somas das linhas são 1+2=3 e 1{,}0001+2=3{,}0001, logo
\|A\|_{\infty}=3{,}0001.
Inversa de A (fórmula 2\times2): para A=\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix},
Interpretação prática: \operatorname{cond}(A)\approx 6{,}0\times10^{4} significa que erros ou perturbações relativos da ordem de 10^{-4} em A podem produzir mudanças relativas da ordem de 1 (ou seja, mudanças grandes) na solução \mathbf{x}. No nosso caso a segunda entrada da segunda linha passou de 1{,}0001 para 0{,}9999, uma variação relativa de cerca de 2\cdot10^{-4}, e o vetor solução mudou de (1,1)^T para (-1,2)^T, uma diferença grande — comportamento típico de matriz mal condicionada.
Passo 8
Conclusão direta e incentivo: encontramos a nova solução explicitamente e mostramos com a estimativa do número de condição que a matriz original é de fato mal condicionada. Respire fundo — esse é o tipo de exemplo clássico que aparece em provas para testar entendimento de sensibilidade e número de condição.