Resolva a integral abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Note que o radicando
deve ser não negativo para o integrando ser real; isso acontece exatamente em , então o intervalo dado é apropriado. - Nos pontos finais
e o denominador vale , portanto a integral é imprópria (há singularidades nas extremidades) — isso exigirá cuidado na justificação da convergência, que vou tratar depois com calma.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar o radicando completando o quadrado. Vou transformar
numa forma mais manejável:
Assim a integral fica
Passo 3
Fazer a substituição simples que centraliza a expressão: seja
. Então
. Mudança dos limites:
- quando
, ; - quando
, .
A integral transforma-se em
Passo 4
Reconhecer uma primitiva padrão: a derivada da função
é
Isso significa que uma antiderivada de
é
. Logo a integral definida é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos extremos. Usando valores bem conhecidos do arco-seno:
Portanto
Passo 6
Justificativa da convergência (por que é válido usar a primitiva mesmo com singularidades nas extremidades): a integral é impropriamente definida pelos limites
Ao fazer a substituição
obtém-se limites
e
. Como
tem limites finitos em
(valendo
), os limites laterais da primitiva existem e o valor da integral impropriamente definida é exatamente a diferença
. Alternativamente, usando a substituição trigonométrica
transforma-se a integral numa integral de
sobre um intervalo finito
, mostrando diretamente que a integral converge e vale
.
Passo 7
Resumo do cálculo feito: