Resolva a integral abaixo.
\int_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^{2}}}.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}.
  • O intervalo de integração é x\in[0,2].
  • Note que o radicando 2x-x^{2} deve ser não negativo para o integrando ser real; isso acontece exatamente em x\in[0,2], então o intervalo dado é apropriado.
  • Nos pontos finais x=0 e x=2 o denominador vale 0, portanto a integral é imprópria (há singularidades nas extremidades) — isso exigirá cuidado na justificação da convergência, que vou tratar depois com calma.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar o radicando completando o quadrado. Vou transformar 2x - x^{2} numa forma mais manejável:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad 2x-x^{2}=1-(x-1)^{2}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}.

Passo 3

Fazer a substituição simples que centraliza a expressão: seja u = x-1. Então du = dx. Mudança dos limites:
  • quando x=0, u=0-1=-1;
  • quando x=2, u=2-1=1.
A integral transforma-se em
\int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

Reconhecer uma primitiva padrão: a derivada da função \arcsin(u) é
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\quad\text{para }u\in(-1,1).
Isso significa que uma antiderivada de \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} é \arcsin(u). Logo a integral definida é
\int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \bigl[\arcsin(u)\bigr]_{-1}^{1}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos extremos. Usando valores bem conhecidos do arco-seno:
\arcsin(1)=\frac{\pi}{2},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}.
Portanto
\bigl[\arcsin(u)\bigr]_{-1}^{1}=\frac{\pi}{2}-\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)=\pi.

Passo 6

Justificativa da convergência (por que é válido usar a primitiva mesmo com singularidades nas extremidades): a integral é impropriamente definida pelos limites
\lim_{a\to0^{+}}\lim_{b\to2^{-}}\int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{2x-x^{2}}}.
Ao fazer a substituição u=x-1 obtém-se limites u\to -1^{+} e u\to 1^{-}. Como \arcsin(u) tem limites finitos em u=\pm1 (valendo \pm\pi/2), os limites laterais da primitiva existem e o valor da integral impropriamente definida é exatamente a diferença \arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi. Alternativamente, usando a substituição trigonométrica u=\sin\theta transforma-se a integral numa integral de d\theta sobre um intervalo finito [-\pi/2,\pi/2], mostrando diretamente que a integral converge e vale \pi.

Passo 7

Resumo do cálculo feito:
\int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{2x-x^{2}}} = \int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \bigl[\arcsin(u)\bigr]_{-1}^{1} = \pi.

Resposta

\pi

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