Calcule la integral de línea integrallambda(2 x y^3+y z) d x+(3 x^2 y^2+x z) d y+x y d z donde lambda es un camino cuyo punto inicial es p=(0,0,0) y cuyo punto final es q=(1,1,1), en cada uno de los casos siguientes:
a. lambda es un segmento de recta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da função vetorial F(x,y,z) = (2 x y^3+y z) i + (3 x^2 y^2+x z) j + x y k ao longo de um caminho lambda que vai do ponto p=(0,0,0) até q=(1,1,1). O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho, substituir na função vetorial e integrar em relação ao parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho lambda. Como lambda é um segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,1), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
r(t) = ( t, t, t ), onde t in [0,1]
Aqui, x(t) = t, y(t) = t e z(t) = t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a t, que é o vetor tangente ao caminho:
r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( 1, 1, 1 )

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função vetorial F(x,y,z):
F(r(t)) = (2 t cdot t^3 + t cdot t) i + (3 t^2 cdot t^2 + t cdot t) j + t cdot t k = (2 t^4 + t^2) i + (3 t^4 + t^2) j + t^2 k

Passo 5

Agora, para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
integrallambda F cdot dr = integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Isso significa que vamos calcular o produto escalar de F(r(t)) e r'(t) e depois integrar isso de 0 a 1.

Passo 6

Calculando o produto escalar:
F(r(t)) cdot r'(t) = (2 t^4 + t^2) cdot 1 + (3 t^4 + t^2) cdot 1 + t^2 cdot 1 = 2 t^4 + t^2 + 3 t^4 + t^2 + t^2 = 5 t^4 + 3 t^2

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de t=0 a t=1:
integral0^1 (5 t^4 + 3 t^2) dt = integral0^1 5 t^4 dt + integral0^1 3 t^2 dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Calculando as integrais:
integral0^1 5 t^4 dt = 5 cdot [ t^55 ]0^1 = [ t^5 ]0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1
integral0^1 3 t^2 dt = 3 cdot [ t^33 ]0^1 = [ t^3 ]0^1 = 1^3 - 0^3 = 1 - 0 = 1

Passo 9

Somando os resultados:
1 + 1 = 2

Resposta

A integral de linha é igual a 2.

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