Calcule la integral de línea
donde
es un camino cuyo punto inicial es
y cuyo punto final es
, en cada uno de los casos siguientes:
a.
es un segmento de recta.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da função vetorial
ao longo de um caminho
que vai do ponto
até
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho, substituir na função vetorial e integrar em relação ao parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a
, que é o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função vetorial
:
Passo 5
Agora, para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar de
e
e depois integrar isso de 0 a 1.
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Calculando as integrais:
Passo 9
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha é igual a 2.