Calcule la integral de línea
donde
es un camino cuyo punto inicial es
y cuyo punto final es
, en cada uno de los casos siguientes:
c.
, donde
.
c.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de um caminho de
a
, sendo
. O conteúdo é integração de 1-formas em
, e vamos precisar reconhecer se o campo é conservativo para usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Identificamos as componentes da 1-forma:
,
e
. Para ver se é conservativo, verificamos se existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Procuramos
integrando
:
onde
é função “constante” em
. Diferenciando essa
em relação a
e
e comparando com
e
, vemos que
é constante. Logo,
é de fato a potencial.
Passo 4
Pelo teorema fundamental da integral de linha em campos conservativos, temos
Calculando,
logo a integral vale
, independentemente dos valores de
.
Resposta
2