Calcule la integral de línea integrallambda(2 x y^3+y z) d x+(3 x^2 y^2+x z) d y+x y d z donde lambda es un camino cuyo punto inicial es p=(0,0,0) y cuyo punto final es q=(1,1,1), en cada uno de los casos siguientes:
c. lambda:[0,1] R^3, lambda(t)=(t^alpha, t^beta, t^gamma), donde alpha, beta, gamma in N.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integrallambda(2xy^3+y z),dx+(3x^2y^2+x z),dy+xy,dz ao longo de um caminho de (0,0,0) a (1,1,1), sendo lambda(t)=(t^alpha,t^beta,t^gamma). O conteúdo é integração de 1-formas em R^3, e vamos precisar reconhecer se o campo é conservativo para usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Identificamos as componentes da 1-forma: P(x,y,z)=2xy^3+y z, Q(x,y,z)=3x^2y^2+x z e R(x,y,z)=xy. Para ver se é conservativo, verificamos se existe uma função potencial f tal que nabla f=(P,Q,R).

Passo 3

Procuramos f integrando P=partial f/partial x:
f(x,y,z)=integral(2xy^3+y z),dx=x^2y^3+xyz+g(y,z),
onde g(y,z) é função “constante” em x. Diferenciando essa f em relação a y e z e comparando com Q e R, vemos que g(y,z) é constante. Logo,
f(x,y,z)=x^2y^3+xyz
é de fato a potencial.

Passo 4

Pelo teorema fundamental da integral de linha em campos conservativos, temos
integrallambdaP,dx+Q,dy+R,dz=f(1,1,1)-f(0,0,0)
Calculando,
f(1,1,1)=1^2cdot1^3+1cdot1cdot1=2,
f(0,0,0)=0,
logo a integral vale 2, independentemente dos valores de alpha,beta,gamma.

Resposta

2

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