Calcule la integral de línea
donde
es un camino cuyo punto inicial es
y cuyo punto final es
, en cada uno de los casos siguientes:
b.
.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde
é o caminho que começa no ponto
e termina no ponto
. O caminho
é dado por
para
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha para campos vetoriais, onde parametrizamos o caminho e substituímos as variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva
. Aqui,
,
e
. O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos essas parametrizações na função vetorial. Vamos identificar cada componente da integral:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Agora, montamos a expressão da integral de linha substituindo
,
e
e multiplicando pelas derivadas que calculamos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 5
Agora, integraremos termo a termo:
Calculando as integrais:
Resposta
O valor da integral de linha é igual a
.