Calcule la integral de línea integrallambda(2 x y^3+y z) d x+(3 x^2 y^2+x z) d y+x y d z donde lambda es un camino cuyo punto inicial es p=(0,0,0) y cuyo punto final es q=(1,1,1), en cada uno de los casos siguientes:
b. lambda:[0,1] R^3, lambda(t)=(t, t^2, t^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
integrallambda(2 x y^3+y z) d x+(3 x^2 y^2+x z) d y+x y d z
onde lambda é o caminho que começa no ponto p = (0,0,0) e termina no ponto q = (1,1,1). O caminho lambda(t) é dado por lambda(t) = (t, t^2, t^3) para t in [0,1].
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha para campos vetoriais, onde parametrizamos o caminho e substituímos as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva lambda(t) = (t, t^2, t^3). Aqui, x(t) = t, y(t) = t^2 e z(t) = t^3. O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a t:
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2

Passo 3

Agora, substituímos essas parametrizações na função vetorial. Vamos identificar cada componente da integral:
P(x, y, z) = 2x y^3 + y z
Q(x, y, z) = 3x^2 y^2 + x z
R(x, y, z) = x y
Substituindo x(t), y(t) e z(t):
P(t) = 2t (t^2)^3 + t^2 t^3 = 2t cdot t^6 + t^5 = 2t^7 + t^5
Q(t) = 3t^2 (t^2)^2 + t cdot t^3 = 3t^2 cdot t^4 + t^4 = 3t^6 + t^4
R(t) = t cdot t^2 = t^3

Passo 4

Agora, montamos a expressão da integral de linha substituindo P(t), Q(t) e R(t) e multiplicando pelas derivadas que calculamos:
integral0^1 [ (2t^7 + t^5) cdot 1 + (3t^6 + t^4) cdot 2t + t^3 cdot 3t^2 ] dt
Simplificando dentro dos colchetes:
(2t^7 + t^5) + (6t^7 + 2t^5) + 3t^5 = 8t^7 + 6t^5

Passo 5

Agora, integraremos termo a termo:
integral0^1 (8t^7 + 6t^5) dt = 8 integral0^1 t^7 dt + 6 integral0^1 t^5 dt
Calculando as integrais:
8 cdot [ t^88 ]0^1 + 6 cdot [ t^66 ]0^1 = (1^8 - 0) + (1^6 - 0) = 1 + 1 = 2

Resposta

O valor da integral de linha é igual a 2.

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