Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC x y e^2 z d y, C: x=t, y=t^2, z=t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,e^2z,dy
ao longo da curva espacial parametrizada por
x=t, y=t^2, z=t^3, 0<= t<=1
O conteúdo aqui é aplicar a definição de integral de linha para uma função escalar em coordenada y, ou seja, usar
dy=dydt,dt
e substituir as funções parametrizadas.

Passo 2

Da parametrização temos
y=t^2 Longrightarrow dydt=2t
logo
dy=2t,dt
Assim a integral de linha vira
integralCx,y,e^2z,dy =integral0^1x(t),y(t),e^2,z(t);dydt,dt

Passo 3

Substituindo x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3 e tfracdydt=2t, obtemos
x,y,e^2z,dydt =tcdot t^2cdot e^2,t^3cdot2t =2,t^4,e^2,t^3
Portanto a integral fica
integral0^12,t^4,e^2,t^3,dt

Passo 4

Para resolver
integral0^12,t^4,e^2,t^3,dt
façamos a substituição
u=t^3 Longrightarrow du=3,t^2,dt Longrightarrow t^2,dt=du3
Além disso t^4=t^2cdot t^2=(u)^2/3. Então
2,t^4,e^2,t^3,dt =2,u^2/3,e^2u,du3 =23,u^2/3,e^2u,du
e os limites t=0to u=0, t=1to u=1. Logo
integral0^12,t^4,e^2,t^3,dt =23integral0^1u^2/3,e^2u,du

Passo 5

O integral
integral0^1u^2/3,e^2u,du
é um caso de função gama incompleta. Sabemos que
integral0^au^k-1e^lambda u,du =lambda^-k,gammal(k,lambda ar),
onde gamma é a gama incompleta inferior. Aqui k-1=2/3implies k=5/3, lambda=2, a=1. Assim
integral0^1u^2/3e^2u,du =2^-5/3,gammal(5/3,2r)
Multiplicando pelo fator tfrac23 do passo anterior, concluímos que
integral0^12,t^4,e^2t^3,dt =23,2^-5/3,gammal(5/3,2r) =2^-2/33,gammal(5/3,2r)

Resposta

integralCx,y,e^2z,dy =2^-2/33,gamma!l(5/3,2r)

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