Calcule:
lim x -infty(1+3x)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(1+3xr)^x
que é um caso clássico de limite exponencial do tipo l(1+tfracaxr)^x, normalmente ligado à constante e.

Passo 2

Para aproveitar o limite padrão, fazemos a mudança de variável
y=x3,
logo x=3y. Quando xto -infty, também yto -infty. Substituindo na expressão, temos
l(1+3xr)^x =l(1+33yr)^3y =l(1+1yr)^3y =l[l(1+tfrac1yr)^yr]^3

Passo 3

Sabe-se que
limytopminftyl(1+1yr)^y=e
Como aqui yto -infty, esse limite vale também e dá e. Portanto
limxto -inftyl(1+3xr)^x =l(limyto -infty(1+tfrac1y)^yr)^3 =e^3

Resposta

e^3

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