Calcule:
lim x -2 log 3-raiz1-4 xraiz6+x-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto -2log3-raiz1-4xraiz6+x-2
O conteúdo aqui é limite de função composta com logaritmo. Como log é contínua em seu domínio, podemos escrever
limxto -2log3-raiz1-4xraiz6+x-2 =logl(limxto -23-raiz1-4xraiz6+x-2r),
desde que o limite interno exista e seja positivo. Então vamos focar em
L=limxto -23-raiz1-4xraiz6+x-2

Passo 2

Para calcular
L=limxto -23-raiz1-4xraiz6+x-2
observamos que, ao substituir x=-2, numerador e denominador vão a zero. Então é uma forma tfrac00 e vamos fazer manipulações algébricas (racionalização) para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por seu conjugado 3+raiz1-4x:
3-raiz1-4xraiz6+x-2 =(3-raiz1-4x)(3+raiz1-4x)(raiz6+x-2),(3+raiz1-4x) =9-(1-4x)(raiz6+x-2),(3+raiz1-4x)
No numerador fica
9-(1-4x)=8+4x=4(x+2)
Logo
3-raiz1-4xraiz6+x-2 =4(x+2)(raiz6+x-2),(3+raiz1-4x)

Passo 4

Agora racionalizamos o fator raiz6+x-2 multiplicando e dividindo por raiz6+x+2:
4(x+2)(raiz6+x-2),(3+raiz1-4x) =4(x+2),(raiz6+x+2)(raiz6+x-2)(raiz6+x+2),(3+raiz1-4x)
Como
(raiz6+x-2)(raiz6+x+2)=6+x-4=x+2,
temos
4(x+2),(raiz6+x+2)(x+2),(3+raiz1-4x) =4,(raiz6+x+2)3+raiz1-4x,
pois x+2 cancela.

Passo 5

Agora basta avaliar em x=-2:
raiz6+(-2)=2, raiz1-4(-2)=3
Então
L=4,(2+2)3+3=4cdot 46=166=83
Portanto
limxto -23-raiz1-4xraiz6+x-2=83 e limxto -2log3-raiz1-4xraiz6+x-2 =log83

Resposta

ln83

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