Calcule:
lim x +infty(1+1x)^3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+1xr)^3x
O conteúdo aqui é limite de forma exponencial e a técnica será usar o logaritmo natural para transformar potência em produto.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(1+1xr)^3x
Para facilitar, tomamos o logaritmo natural de L:
ln L = limxto+infty 3x ,lnl(1+1xr)

Passo 3

Note que limxto+infty3xln(1+1/x) é da forma inftycdot 0. Para resolver, fazemos a substituição t = 1/x. Quando xto+infty, tto0^+, e
3xlnl(1+1xr) =3,ln(1+t)t
Sabemos que
limtto0^+ln(1+t)t=1,
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limxto+infty3xlnl(1+1xr)=3cdot1=3

Passo 4

Como ln L=3, concluímos que
L = e^ln L = e^3

Resposta

e^3

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