Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC x e^2 z d s, C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,e^2z,ds
onde C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3). O conteúdo aqui é parametrização de curva e cálculo de comprimento elementar ds.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,,2t,,3t), 0<= t<=1,
pois em t=0 temos (0,0,0) e em t=1 temos (1,2,3).

Passo 3

Calculamos ds. Primeiro a derivada
r'(t) = (1,,2,,3),
então
ds = | r'(t)|,dt = raiz1^2+2^2+3^2,dt = raiz14,dt

Passo 4

Expressamos o integrando em função de t:
x(t)=t, z(t)=3t,
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x,e^2z,ds = t,e^2cdot(3t),raiz14,dt = raiz14;t,e^6t,dt
A integral de linha vira
integral0^1raiz14;t,e^6t,dt = raiz14integral0^1t,e^6t,dt

Passo 5

Calculamos integral0^1t,e^6t,dt por partes, com u=t, dv=e^6tdt. Então
du=dt, v=e^6t6,
e
integral t,e^6t,dt = t,e^6t6 - integral e^6t6,dt = t,e^6t6 - e^6t36 = e^6t(6t-1)36
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1t,e^6t,dt = [e^6t(6t-1)36]0^1 = e^6(6cdot1-1)36 - e^0(6cdot0-1)36 = 5e^636 - l(-tfrac136r) = 5e^6+136
Multiplicando por raiz14 vem

Resposta

integralC x,e^2z,ds = raiz14;5e^6+136

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