Encontre os pontos de inflexāo da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
f(x)=(x-1)^3

Passo 1

O enunciado pede os pontos de inflexão de f(x)=(x-1)^3 e os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. O conteúdo necessário é o teste de concavidade, que usa a derivada segunda f''(x).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f.
A derivada primeira é
f'(x)=ddx(x-1)^3=3(x-1)^2
A derivada segunda é
f''(x)=ddxl[3(x-1)^2r]=6(x-1)

Passo 3

Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
f''(x)=0 implies 6(x-1)=0 implies x=1
Calculando f(1):
f(1)=(1-1)^3=0
Como f''(x) muda de sinal em x=1, confirmamos que há um ponto de inflexão em l(1,0r).

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x)=6(x-1):
Para x<1 tem-se x-1<0, logo f''(x)<0, o que indica concavidade para baixo.
Para x>1 tem-se x-1>0, logo f''(x)>0, o que indica concavidade para cima.

Resposta

Ponto de inflexão: l(1,0r)
f é côncava para baixo em (-infty,1) e côncava para cima em (1,infty).

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