Calcule:
lim x 3 ln x-3raizx+1-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 3lnx-3raizx+1-2
O conteúdo aqui é cálculo de limites, uso de manipulação algébrica para eliminar indeterminações e, por fim, propriedade de continuidade do logaritmo natural.

Passo 2

Observe que, ao fazermos xto3, temos
x-3to0 e raizx+1-2toraiz4-2=0,
logo o quociente x-3raizx+1-2 é da forma 0/0. Para resolver isso, primeiro vamos achar
L=limxto3x-3raizx+1-2
e depois usar a continuidade de ln.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação 0/0 em L, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx+1-2:
x-3raizx+1-2;cdot;raizx+1+2raizx+1+2 =(x-3),(raizx+1+2)( raizx+1)^2-2^2 =(x-3),(raizx+1+2)x+1-4 =(x-3),(raizx+1+2)x-3 =raizx+1+2

Passo 4

Com isso,
L =limxto3(raizx+1+2) =raiz3+1+2 =2+2 =4

Passo 5

Como ln é contínua em R^+,
limxto3lnx-3raizx+1-2 =lnl(limxto3x-3raizx+1-2r) =ln 4

Resposta

ln 4

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