Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC y e^2 d z+x ln x d y-y d x,
C: x=e^prime, y=2 t, z=ln t, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC l(y,e^2,dz ;+; xln x,dy ;-; y,dxr)
ao longo da curva espacial C dada por
x=e^t, y=2t, z=ln t, 1<= t<=2
O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma diferencial. Vamos parametrizar C por t, obter dx,dy,dz e substituir na forma.

Passo 2

Encontramos as diferenciais a partir da parametrização:
x(t)=e^timplies dx=e^tdt, y(t)=2timplies dy=2,dt, z(t)=ln timplies dz=1t,dt

Passo 3

Expressamos cada termo da integral em função de t.
  • Primeiro termo:
y,e^2,dz =(2t),e^2,1t,dt =2e^2,dt
  • Segundo termo:
xln x,dy =e^t,lnl(e^tr),(2,dt) =e^t,t,(2,dt) =2t,e^t,dt
  • Terceiro termo (com sinal menos):
-y,dx =-(2t),(e^tdt) =-2t,e^t,dt

Passo 4

Somamos os termos e integramos de t=1 a t=2:
integral1^2l(2e^2+2t,e^t-2t,e^tr),dt =integral1^22e^2,dt =2e^2,(2-1) =2e^2

Resposta

2e^2

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