2A peça P pode se mover para dentro à medida que o braço gira em torno do ponto O. A posição angular do braço é dada por theta=1,6 t-t^210, onde theta é dado em radianos e t em segundos. Quando t=0, r=1,8 m e posteriormente a velocidade da peça P é constante, de 0,2 m / s^1. Determine:
a) o vetor que descreve a velocidade em função de t;
b) o vetor que descreve a aceleração em função de t;

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula P em coordenadas polares, com raio r variando linearmente e ângulo dado por theta(t)=1,6,t-tfract^210. Queremos achar os vetores velocidade e aceleração em função de t. Para isso usamos as fórmulas de cinemática em coordenadas polares:
vec v=dot r,hat er+r,dottheta,hat etheta
vec a=(ddot r-rdottheta^2),hat er+(2dot r,dottheta+r,ddottheta),hat etheta

Passo 2

Como P se move para dentro com velocidade constante de 0,2,m/s, adotamos
r(t)=1,8-0,2,t,
dot r=-0,2,
e da expressão theta(t)=1,6,t-tfract^210 obtemos
dottheta(t)=1,6-t5,
ddottheta(t)=-15
Além disso ddot r=0.

Passo 3

Substituindo em vec v=dot r,hat er+r,dottheta,hat etheta, temos
vec v(t)=-0,2,hat er+l(1,8-0,2,tr)l(1,6-tfract5r),hat etheta

Passo 4

Agora em
vec a=(ddot r-rdottheta^2),hat er+(2dot r,dottheta+r,ddottheta),hat etheta
substituímos e simplificamos:
ar=-,(1,8-0,2,t)l(1,6-tfract5r)^2,
atheta=2(-0,2)l(1,6-tfract5r)+(1,8-0,2,t)l(-tfrac15r) =-1+0,12,t
Logo
vec a(t)=-,(1,8-0,2,t)l(1,6-tfract5r)^2,hat er+l(-1+0,12,tr),hat etheta

Resposta

(a) vec v(t)=-0,2,hat er+l(1,8-0,2,tr)l(1,6-tfract5r),hat etheta
(b) vec a(t)=-,(1,8-0,2,t)l(1,6-tfract5r)^2,hat er+l(-1+0,12,tr),hat etheta

Exercícios relacionados