Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC y d x+z d y+x d z,
C: x=raizt, y=t, z=t^2, 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC y,dx + z,dy + x,dz
ao longo da curva espacial C dada pela parametrização
x=raizt, y=t, z=t^2,
com t variando de 1 a 4.
Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais em coordenadas paramétricas, isto é, escrever dx,dy,dz em função de dt e integrar de t=1 até t=4.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas em relação a t:
dx = ddtl(raiztr),dt = 12raizt,dt,
dy = ddt(t),dt = 1cdot dt = dt,
dz = ddt(t^2),dt = 2t,dt

Passo 3

Substituímos x,y,z e dx,dy,dz na integral:
y,dx = tcdot12raizt,dt = 12raizt,dt,
z,dy = t^2cdot dt = t^2,dt,
x,dz = raiztcdot(2t,dt) = 2traizt,dt = 2,t^3/2,dt
Logo o integrando fica
12raizt + t^2 + 2,t^3/2
multiplicado por dt.

Passo 4

Agora montamos a integral em t e achamos a primitiva:
integral1^4!l(tfrac12t^1/2 + t^2 + 2t^3/2r),dt
Integramos termo a termo:
integral tfrac12t^1/2,dt = 13t^3/2, integral t^2,dt = 13t^3, integral 2t^3/2,dt = 45t^5/2
Assim a primitiva é
F(t)=13t^3/2 + 13t^3 + 45t^5/2

Passo 5

Finalmente avaliamos de t=1 até t=4:
Para t=4:
t^3/2=8, t^3=64, t^5/2=32,
F(4)=13cdot8 + 13cdot64 + 45cdot32 = 83 + 643 + 1285 = 24 + 1285 = 1205 + 1285 = 2485
Para t=1:
t^3/2=1,;t^3=1,;t^5/2=1,
F(1)=13 + 13 + 45 = 23 + 45 = 1015 + 1215 = 2215
Então a integral é
F(4)-F(1) = 2485 - 2215 = 74415 - 2215 = 72215

Resposta

72215

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