Resolva a equação diferencial de
ordem:
Passo 1
O enunciado propõe resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes:
Vamos usar dois ingredientes principais: (i) achar a solução geral da parte homogênea pelo polinômio característico e (ii) encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar, já que o termo forçante é um polinômio em
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e montamos o polinômio característico associado.
Passo 3
O polinômio característico é
Testando
vemos que é raiz, de modo que podemos fatorar:
As raízes são
Passo 4
Como são raízes reais simples, a solução geral da homogênea é
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é
, propomos um polinômio de grau 2:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original obtemos
que simplifica para
Passo 7
Igualando coeficientes de potências de
Da primeira equação vem (A = -\tfrac12]. Substituindo na segunda:
Na terceira:
Na terceira:
Passo 8
A solução particular é
Logo, a solução geral da equação completa é