Resolva a equação diferencial de 3^a ordem:
y^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=x^2

Passo 1

O enunciado propõe resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes:
y''' + 2y'' - y' - 2y = x^2
Vamos usar dois ingredientes principais: (i) achar a solução geral da parte homogênea pelo polinômio característico e (ii) encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar, já que o termo forçante é um polinômio em x.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''' + 2y'' - y' - 2y = 0
e montamos o polinômio característico associado.

Passo 3

O polinômio característico é
r^3 + 2r^2 - r - 2 = 0
Testando r=1 vemos que é raiz, de modo que podemos fatorar:
r^3 + 2r^2 - r - 2 = (r - 1)(r^2 + 3r + 2) = (r - 1)(r + 1)(r + 2)
As raízes são
r1 = 1, r2 = -1, r3 = -2

Passo 4

Como são raízes reais simples, a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^-2x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é x^2, propomos um polinômio de grau 2:
yp = A x^2 + B x + C

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 2A x + B, yp'' = 2A, yp''' = 0
Substituindo na equação original obtemos
0 + 2cdot(2A) - l(2A x + Br) - 2l(A x^2 + B x + Cr) = x^2,
que simplifica para
-2A,x^2 +(-2A-2B),x + (4A - B - 2C) = x^2

Passo 7

Igualando coeficientes de potências de
Da primeira equação vem (A = -\tfrac12]. Substituindo na segunda:

Na terceira:

Passo 8

A solução particular é
yp = -tfrac12 x^2 + tfrac12 x - tfrac54
Logo, a solução geral da equação completa é
y(x) = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^-2x - tfrac12 x^2 + tfrac12 x - tfrac54

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^-2x - tfrac12 x^2 + tfrac12 x - tfrac54

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