Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{xyz}, 3 \mathrm{xy}^{2}, 4 \mathrm{z}\right), \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(3 \mathrm{t}, \mathrm{t}^{2}, 4 \mathrm{t}^{3}\right), 0 \leq t \leq 4

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r
para o campo vetorial
\mathbf F(x,y,z)=(xyz,\;3xy^2,\;4z)
e a curva parametrizada
\mathbf r(t)=(3t,\;t^2,\;4t^3),\quad 0\le t\le4.
O conteúdo aqui é: usar a parametrização para escrever \mathbf F(\mathbf r(t)), calcular \mathbf r'(t), formar o produto escalar e integrar em t.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada da parametrização e o campo ao longo da curva.
\mathbf r'(t)=\bigl(3,\;2t,\;12t^2\bigr).
Agora, substituindo \mathbf r(t) em \mathbf F:
x=3t,\quad y=t^2,\quad z=4t^3
\mathbf F(\mathbf r(t)) =\bigl((3t)(t^2)(4t^3),\;3\,(3t)(t^2)^2,\;4\,(4t^3)\bigr) =\bigl(12t^6,\;9t^5,\;16t^3\bigr).

Passo 3

Formamos o produto escalar
\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t) =(12t^6)\cdot3+(9t^5)\cdot(2t)+(16t^3)\cdot(12t^2) =36t^6+18t^6+192t^5 =54t^6+192t^5.

Passo 4

Integramos de t=0 a t=4:
\int_0^4\bigl(54t^6+192t^5\bigr)\,dt =54\int_0^4 t^6\,dt+192\int_0^4 t^5\,dt =54\Bigl[\frac{t^7}{7}\Bigr]_0^4 +192\Bigl[\frac{t^6}{6}\Bigr]_0^4.
Calculando:
54\cdot\frac{4^7}{7} +192\cdot\frac{4^6}{6} =\frac{54\cdot16384}{7}+32\cdot4096 =\frac{884736}{7}+131072 =\frac{884736+917504}{7} =\frac{1802240}{7}.

Resposta

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\frac{1802240}{7}.

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