Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}}.
O conteúdo envolve integrais impróprias com limite superior infinito e a técnica de redução a potência.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como potência de x. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{1}{x\sqrt{x}} = x^{-1}\,x^{-1/2} = x^{-3/2}.
Logo precisamos estudar
\int_{1}^{+\infty} x^{-3/2}\,dx.

Passo 3

Verificamos a convergência pelo critério da p-série: a integral
\int_{1}^{+\infty} x^{-p}\,dx
converge se e somente se p>1. Aqui p=3/2>1, então a integral converge.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de x^{-3/2}. Usando a fórmula
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\quad (\alpha\neq -1),
com \alpha=-\tfrac32, obtemos
\int x^{-3/2}\,dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2\,x^{-1/2}.

Passo 5

Avaliamo-la de 1 até b e depois fazemos b\to+\infty:
\int_{1}^{b} x^{-3/2}\,dx = \Bigl[-2\,x^{-1/2}\Bigr]_{1}^{b} = -2\,b^{-1/2} - \bigl(-2\cdot1^{-1/2}\bigr) = -\frac{2}{\sqrt{b}} + 2.
Fazendo b\to+\infty, o termo \tfrac{2}{\sqrt{b}} tende a zero, restando 2.

Resposta

2

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