Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{0}^{+\infty} \frac{\operatorname{cosh} (x)}{1+\operatorname{sinh} (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{\operatorname{cosh}(x)}{1+\operatorname{sinh}(x)}\,dx
O conteúdo principal é integral imprópria no infinito e vamos usar mudança de variável do tipo u=\operatorname{sinh}(x).

Passo 2

Definimos a integral como limite
\int_{0}^{+\infty} \frac{\operatorname{cosh}(x)}{1+\operatorname{sinh}(x)}\,dx =\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}\frac{\operatorname{cosh}(x)}{1+\operatorname{sinh}(x)}\,dx.
Não há problema no ponto x=0, pois o integrando vale \frac{\operatorname{cosh}(0)}{1+\operatorname{sinh}(0)}=1.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u=\operatorname{sinh}(x), \quad du=\operatorname{cosh}(x)\,dx.
Quando x=0, u=0. Quando x=b, u=\operatorname{sinh}(b). A integral fica
\int_{0}^{b}\frac{\operatorname{cosh}(x)}{1+\operatorname{sinh}(x)}\,dx =\int_{0}^{\operatorname{sinh}(b)}\frac{1}{1+u}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
\int \frac{1}{1+u}\,du =\ln\bigl|1+u\bigr|+C.
Logo
\int_{0}^{\operatorname{sinh}(b)}\frac{1}{1+u}\,du =\Bigl[\ln(1+u)\Bigr]_{0}^{\operatorname{sinh}(b)} =\ln\bigl(1+\operatorname{sinh}(b)\bigr)-\ln(1).

Passo 5

Tomamos o limite b\to+\infty:
\ln\bigl(1+\operatorname{sinh}(b)\bigr) \sim\ln\bigl(\tfrac12e^{b}\bigr) = b - \ln 2 \;\xrightarrow[b\to\infty]{}\;+\infty.
Portanto o limite diverge.

Resposta

A integral é divergente (não converge).

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