Calcule a integral de linha do campo
ao longo da borda da superfície
) com
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + y + z, \ x - y - z, \ -x - y - z) $ ao longo da borda da superfície parametrizada por $ (u, v, \sin(v)) $ com $ 0 \leq v \leq 2\pi $ e $ -1 \leq u \leq 1 $. Para resolver isso, vamos utilizar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial $ F $. O rotacional, denotado por $ \nabla \times F $, é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial (-x - y - z)}{\partial y} = -1 $
- $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial (x - y - z)}{\partial z} = -1 $
- $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial (x + y + z)}{\partial z} = 1 $
- $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial (-x - y - z)}{\partial x} = -1 $
- $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial (x - y - z)}{\partial x} = 1 $
- $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial (x + y + z)}{\partial y} = 1 $
Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Passo 3
Com o rotacional calculado, podemos aplicar o teorema de Stokes:
Onde $ n $ é o vetor normal à superfície $ S $. Vamos parametrizar a superfície:
Com $ -1 \leq u \leq 1 $ e $ 0 \leq v \leq 2\pi $.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em termos das variáveis $ u $ e $ v $:
O vetor normal $ n $ é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre $ \nabla \times F $ e $ n $:
Passo 6
A integral de superfície se torna:
Primeiro, integramos em relação a $ v $:
Passo 7
Agora, integramos em relação a $ u $:
Resposta
A integral de linha do campo $ F $ ao longo da borda da superfície é igual a $ 0 $.