Calcule a integral de linha do campo F(x, y, z)=(x+y+z, x-y-z,-x-y-z) ao longo da borda da superfície (u, v, sen(v) ) com 0 <= v <= 2 pi e-1 <= u <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + y + z, \ x - y - z, \ -x - y - z) $ ao longo da borda da superfície parametrizada por $ (u, v, \sin(v)) $ com $ 0 \leq v \leq 2\pi $ e $ -1 \leq u \leq 1 $. Para resolver isso, vamos utilizar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial $ F $. O rotacional, denotado por $ \nabla \times F $, é dado por:
F
Vamos calcular cada componente:
  1. $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial (-x - y - z)}{\partial y} = -1 $
  2. $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial (x - y - z)}{\partial z} = -1 $
  3. $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial (x + y + z)}{\partial z} = 1 $
  4. $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial (-x - y - z)}{\partial x} = -1 $
  5. $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial (x - y - z)}{\partial x} = 1 $
  6. $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial (x + y + z)}{\partial y} = 1 $
Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
nabla times F

Passo 3

Com o rotacional calculado, podemos aplicar o teorema de Stokes:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde $ n $ é o vetor normal à superfície $ S $. Vamos parametrizar a superfície:
n
Com $ -1 \leq u \leq 1 $ e $ 0 \leq v \leq 2\pi $.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em termos das variáveis $ u $ e $ v $:
u
v
O vetor normal $ n $ é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
ru = partial rpartial u = (1, 0, 0)
rv = partial rpartial v = (0, 1, cos(v))

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre $ \nabla \times F $ e $ n $:
nabla times F

Passo 6

A integral de superfície se torna:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integralu=-1^1 integralv=0^2pi -2cos(v) , dv , du
Primeiro, integramos em relação a $ v $:
v

Passo 7

Agora, integramos em relação a $ u $:
u

Resposta

A integral de linha do campo $ F $ ao longo da borda da superfície é igual a $ 0 $.

Exercícios relacionados