Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Nesta questão temos a EDO
que é do tipo de Clairaut, onde reconhecemos a forma
sendo
e
. Vamos usar a teoria de equações de Clairaut para obter a solução geral e a solução singular.
Passo 2
Tomando
, reescrevemos a EDO como
Nesse formato, “Clairaut” nos diz que existe uma família de retas como solução geral (quando
é constante) e uma solução singular (envelope dessas retas).
Passo 3
Para a solução geral, fixamos
(constante arbitrária). Assim, substituindo em
temos a família de soluções
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para obter a solução singular, diferenciamos a relação original em relação a
:
Isso dá
ou seja
A solução singular surge de
Substituindo esse
na família de retas
, obtemos
que é a solução singular como envelope da família.
Passo 5
Portanto, as soluções são:
Resposta
Solução geral:
, com constante
.
Solução singular (envelope): em forma paramétrica
Solução singular (envelope): em forma paramétrica