Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
y=x y^prime+sen(y^prime)

Passo 1

Nesta questão temos a EDO
y = x,y' + sin(y')
que é do tipo de Clairaut, onde reconhecemos a forma
y = x,p + f(p),
sendo p=y' e f(p)=sin(p). Vamos usar a teoria de equações de Clairaut para obter a solução geral e a solução singular.

Passo 2

Tomando p=y', reescrevemos a EDO como
y = x,p + sin(p)
Nesse formato, “Clairaut” nos diz que existe uma família de retas como solução geral (quando p é constante) e uma solução singular (envelope dessas retas).

Passo 3

Para a solução geral, fixamos p=C (constante arbitrária). Assim, substituindo em
y = x,C + sin(C),
temos a família de soluções
y = Cx + sin(C),
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para obter a solução singular, diferenciamos a relação original em relação a x:
ddxl(xp + sin(p)r) = ddx(y)
Isso dá
y' = p + x,p' + cos(p),p' = p,
ou seja
0 = p'(x + cos(p))
A solução singular surge de
x + cos(p) = 0 Longrightarrow x = -cos(p)
Substituindo esse x na família de retas y = px + sin(p), obtemos
y = p(-cos(p)) + sin(p) = -pcos(p) + sin(p),
que é a solução singular como envelope da família.

Passo 5

Portanto, as soluções são:

Resposta

Solução geral: y = Cx + sin(C), com constante C.
Solução singular (envelope): em forma paramétrica
x = -cos(C), y = -Ccos(C) + sin(C)

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