Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
y^prime(x y^prime-y)+1=0;

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação
y'(x y' - y) + 1 = 0
Isso é uma equação de Clairaut, onde podemos usar a forma padrão para resolver.

Passo 2

Vamos chamar p = y'. A equação original se torna
x p^2 - y p + 1 = 0
ou, isolando y,

Passo 3

y p = x p^2 + 1
portanto

Passo 4

y = x p + 1p
Isso mostra que a solução geral é da forma de Clairaut: y = x C + f(C) com f(C)=1/C.

Passo 5

Como em equações de Clairaut p é constante, substituímos p = C. A família geral de soluções é

Passo 6

y = C x + 1C, C neq 0

Passo 7

Há ainda a solução singular obtida pelo envelope ( dy/dC=0):

Passo 8

ddCl(xC + tfrac1Cr)= x - 1C^2=0
logo x=1/C^2. Substituindo em y vem

Passo 9

y = Ccdot1C^2 + C = 2,1|C| = pm 2raizx

Resposta

Solução geral: y = C x + tfrac1C, Cneq0. Solução singular: y=pm2raizx.

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