Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções, utilizando o wronskiano .
Passo 1
Neste exercício vamos lidar com equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A EDO dada é e temos as funções e . Precisamos verificar que cada uma satisfaz a equação e depois usar o Wronskiano para checar a independência linear e determinar o intervalo onde elas formam um conjunto fundamental.
Passo 2
Calculemos as derivadas de e verifiquemos na EDO. Temos
Substituindo em :
$$y_1’’ - 2y_1’ + y_1 = e^x - 2e^x + e^x = 0.
$$
Logo, é solução.
Passo 3
Agora calculemos as derivadas de e verifiquemos na EDO. Temos
Como e^2x>0 para todo xinR, o Wronskiano nunca se anula.
Passo 5
Concluímos que y1 e y2 são soluções linearmente independentes em qualquer intervalo onde o Wronskiano não zera. Como e^2x é sempre positivo, elas formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo de R.
Resposta
As funções são soluções da EDO e como o Wronskiano é W(y1,y2)(x)=e^2xneq0 para todo xinR, elas formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo aberto de R, por exemplo .