Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções, utilizando o wronskiano W(y1, y2).
y^prime prime-2 y^prime+y=0 ; y1(x)=e^x, y2(x)=x e^x

Passo 1

Neste exercício vamos lidar com equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A EDO dada é y'' - 2y' + y = 0 e temos as funções y1(x)=e^x e y2(x)=x e^x. Precisamos verificar que cada uma satisfaz a equação e depois usar o Wronskiano para checar a independência linear e determinar o intervalo onde elas formam um conjunto fundamental.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y1 e verifiquemos na EDO. Temos
y1(x)=e^x, y1'(x)=e^x, y1''(x)=e^x
Substituindo em y'' - 2y' + y:
$$y_1’’ - 2y_1’ + y_1 = e^x - 2e^x + e^x = 0.
$$
Logo, y1'' - 2y1' + y1 = e^x - 2e^x + e^x = 0 é solução.

Passo 3

Agora calculemos as derivadas de y2 e verifiquemos na EDO. Temos
y2(x)=x e^x, y2'(x)=e^x + x e^x = (1+x)e^x, y2''(x)=e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x
Substituindo em y'' - 2y' + y:
$$y_2’’ - 2y_2’ + y_2 = (2+x)e^x - 2(1+x)e^x + x e^x = e^x\x08igl(2+x-2-2x+x\bigr)=0.
$$
Assim, y2'' - 2y2' + y2 = (2+x)e^x - 2(1+x)e^x + x e^x = e^xx08igl(2+x-2-2x+xr)=0 também é solução.

Passo 4

Agora montamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^xcdot(1+x)e^x - e^xcdot x e^x = e^2x + x e^2x - x e^2x = e^2x
Como e^2x>0 para todo xinR, o Wronskiano nunca se anula.

Passo 5

Concluímos que y1 e y2 são soluções linearmente independentes em qualquer intervalo onde o Wronskiano não zera. Como e^2x é sempre positivo, elas formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo de R.

Resposta

As funções são soluções da EDO e como o Wronskiano é W(y1,y2)(x)=e^2xneq0 para todo xinR, elas formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo aberto de R, por exemplo .

Exercícios relacionados