Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y, z)=cos x i+sen y j+y z k
sobre o segmento que liga (0,0,0) a $(2,3,-1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC vec Fcdot dvec r
do campo vetorial
vec F(x,y,z)=cos x,vec i + sin y,vec j + y z,vec k
sobre o segmento de reta ligando (0,0,0) a (2,3,-1). O conteúdo envolve parametrização de curva e definição de integral de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
vec r(t)=(2t,,3t,,-t), tin[0,1]
Então
vec r'(t)=(2,3,-1) e
dvec r=vec r'(t), dt.

Passo 3

Avaliamo-s vec F ao longo da curva:
vec F(vec r(t)) =l(cos(2t),,sin(3t),,(3t)cdot(-t)r) =(cos(2t),,sin(3t),,-3t^2)
O produto escalar fica
vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) =2cos(2t)+3sin(3t)+(-3t^2)(-1) =2cos(2t)+3sin(3t)+3t^2

Passo 4

A integral de linha torna-se
integral0^1l(2cos(2t)+3sin(3t)+3t^2r), dt,
que separa em três partes.

Passo 5

Calculemos cada parte:
integral0^1 2cos(2t), dt =sin(2t)|0^1 =sin(2),
integral0^1 3sin(3t), dt =-cos(3t)|0^1 =-(cos(3)-1) =1-cos(3),
integral0^1 3t^2, dt =t^3|0^1 =1

Passo 6

Somando os resultados:
sin(2)+(1-cos(3))+1 =2+sin(2)-cos(3)

Resposta

2+sin(2)-cos(3)

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