Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 23^n

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^+infty(-1)^n+123^n
com precisão de três casas decimais. O conteúdo principal aqui é soma de série geométrica, em particular série geométrica alternada. Vamos usar a fórmula da soma de sumn=1^inftyar^n-1 ou adaptá-la para sinais alternados.

Passo 2

Observe que podemos fatorar 2 e definir
S = sumn=1^+infty(-1)^n+123^n = 2sumn=1^+infty(-1)^n+1l(13r)^n
Chame
Saux = sumn=1^+infty(-1)^n+1x^n,
onde x = tfrac13. Então S = 2,Saux.

Passo 3

Para somar Saux note que
Saux = x - x^2 + x^3 - x^4 + cdots = sumk=0^infty(-1)^kx^k+1 = xsumk=0^infty(-x)^k
Como sumk=0^inftyr^k = tfrac11-r para |r|<1, com r=-x temos
sumk=0^infty(-x)^k = 11-(-x) = 11+x
Logo
Saux = x1+x

Passo 4

Substituindo x = tfrac13 obtemos
Saux = tfrac131+tfrac13 = tfrac13tfrac43 = 14
Portanto
S = 2,Saux = 2cdot14 = 12

Resposta

A soma da série é tfrac12, ou com três casas decimais: 0,500.

Exercícios relacionados