Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
\vec{E}(\vec{r})=k \frac{g \vec{r}}{\vec{r} \vec{r}}\, com \vec{r}=(x, y, z), \vec{r} \neq \overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{E}(\vec{r}) = k\,\frac{g\,\vec{r}}{\vec{r}\cdot\vec{r}},
com \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r}\neq\vec{0}. Vou listar o que isso significa e o que é pedido:
  • k e g são constantes escalares (não dependem de x,y,z).
  • \vec{r}\cdot\vec{r}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Denoto r=\|\vec r\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, logo \vec{r}\cdot\vec{r}=r^{2}.
  • Componentes do campo: E_x = k g\,\dfrac{x}{r^{2}}, E_y = k g\,\dfrac{y}{r^{2}}, E_z = k g\,\dfrac{z}{r^{2}}.
    O que se pede: calcular o divergente \nabla\cdot\vec{E} no domínio \vec{r}\neq\vec{0}.

Passo 2

Definição usada e estratégia:
  • Pela definição, o divergente é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
  • Vou calcular cada derivada parcial em cartesianas, pois é um método direto e elementar: escrever explicitamente E_x,E_y,E_z e aplicar regra do produto/quotient rule. Isso evita invocar coordenadas esféricas se você ainda não estiver familiarizado — é mais “mão na massa” e funciona bem aqui.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial E_x}{\partial x}. Escrevendo a constante fora da derivada:
\frac{\partial E_x}{\partial x}=k g\;\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right).
Agora use a regra do produto (ou do quociente). Note que r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right) = \frac{\partial x}{\partial x}\cdot\frac{1}{r^{2}} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{r^{2}}\right) = \frac{1}{r^{2}} + x\cdot\left(-2\right)\frac{x}{r^{4}}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r^{2}}\right)=\frac{1}{r^{2}}-\frac{2x^{2}}{r^{4}}=\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}.
Multiplicando pela constante:
\frac{\partial E_x}{\partial x}=k g\;\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}.

Passo 4

De forma análoga, pelas simetrias nas variáveis,
\frac{\partial E_y}{\partial y}=k g\;\frac{r^{2}-2y^{2}}{r^{4}},\qquad \frac{\partial E_z}{\partial z}=k g\;\frac{r^{2}-2z^{2}}{r^{4}}.
Somando as três parcelas para obter o divergente:
\nabla\cdot\vec{E} = k g\;\frac{r^{2}-2x^{2}+r^{2}-2y^{2}+r^{2}-2z^{2}}{r^{4}}.
Agrupando termos no numerador:
\nabla\cdot\vec{E} = k g\;\frac{3r^{2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{4}}.
Mas x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, logo
\nabla\cdot\vec{E}=k g\;\frac{3r^{2}-2r^{2}}{r^{4}}=k g\;\frac{r^{2}}{r^{4}}=k g\;\frac{1}{r^{2}}.

Passo 5

Interpretação e checagem alternativa (rápida e útil para a prova):
  • O campo é radial e pode ser escrito como \vec{E}(\vec r)=f(r)\,\hat r com f(r)=k g\,\dfrac{1}{r}.
  • Para campos radiais em três dimensões existe a fórmula prática
\nabla\cdot\big(f(r)\,\hat r\big)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\big(r^{2}f(r)\big).
Aplicando com f(r)=k g\,\dfrac{1}{r} obtém-se
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\big(r^{2}\cdot k g\,\tfrac{1}{r}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!(k g\,r) =\frac{1}{r^{2}}\cdot k g =\frac{k g}{r^{2}},
que coincide com o resultado em cartesianas — boa verificação.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\vec{E}(\vec r)=\frac{k\,g}{\|\vec r\|^{2}}\quad\text{para }\vec r\neq\vec 0

Exercícios relacionados