Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e
. Vou listar o que isso significa e o que é pedido:
-
e são constantes escalares (não dependem de ). -
. Denoto , logo . - Componentes do campo:
, , .
O que se pede: calcular o divergenteno domínio .
Passo 2
Definição usada e estratégia:
- Pela definição, o divergente é
- Vou calcular cada derivada parcial em cartesianas, pois é um método direto e elementar: escrever explicitamente
e aplicar regra do produto/quotient rule. Isso evita invocar coordenadas esféricas se você ainda não estiver familiarizado — é mais “mão na massa” e funciona bem aqui.
Passo 3
Calcular
. Escrevendo a constante fora da derivada:
Agora use a regra do produto (ou do quociente). Note que
. Então
Portanto
Multiplicando pela constante:
Passo 4
De forma análoga, pelas simetrias nas variáveis,
Somando as três parcelas para obter o divergente:
Agrupando termos no numerador:
Mas
, logo
Passo 5
Interpretação e checagem alternativa (rápida e útil para a prova):
- O campo é radial e pode ser escrito como
com . - Para campos radiais em três dimensões existe a fórmula prática
Aplicando com
obtém-se
que coincide com o resultado em cartesianas — boa verificação.