Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
- O campo vetorial é
. - Não há componente na direção
explícita (ou seja, a componente nessa direção é zero).
As perguntas claras são:
- Qual é o valor de
para esse campo?
Passo 2
Vamos lembrar o que é o divergente e a fórmula que usaremos. O divergente de um campo vetorial
é dado por
Explicando: cada termo é uma derivada parcial — isto é, derivamos a componente correspondente em relação à sua variável, tratando as outras variáveis como constantes. Na prova, aplicar essa fórmula é direto: identificar
e calcular três derivadas parciais.
Passo 3
Identificar as componentes do campo extraídas do enunciado:
- A componente na direção
(ou ) é — peguei este valor do enunciado. - A componente na direção
(ou ) é — porque não há termo em no enunciado. - A componente na direção
(ou ) é — peguei este valor do enunciado.
Passo 4
Calcular cada derivada parcial, explicando passo a passo:
- Derivada parcial de
em relação a :
Aqui
e
são tratados como constantes. A derivada de
é
, então o resultado é
. Em notação:
Um pequeno lembrete prático: quando a função é um produto simples
, a derivada em relação a
é só a constante.
- Derivada parcial de
em relação a :
pois a derivada de uma função identicamente nula é zero.
- Derivada parcial de
em relação a :
Aqui
não depende de
(tratamos
e
como constantes), portanto a derivada é zero:
Passo 5
Somar os três termos segundo a fórmula do divergente:
Portanto o divergente simplifica para
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova:
significa que, ponto a ponto, a “taxa neta de saída” do campo é proporcional ao produto das coordenadas
e
. Na prova, para campos com componentes ausentes (como aqui a componente em
), lembre-se sempre de considerar essa componente como zero e de que derivar em relação a uma variável de uma expressão que não depende dela dá zero — isso poupa muitas contas.