Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=x y z \hat{i}+x^{2} y \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x y z\,\hat{i}+x^{2}y\,\hat{k}.
  • Não há componente na direção \hat{j} explícita (ou seja, a componente nessa direção é zero).
As perguntas claras são:
  • Qual é o valor de \nabla\cdot\vec{F} para esse campo?

Passo 2

Vamos lembrar o que é o divergente e a fórmula que usaremos. O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é dado por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Explicando: cada termo é uma derivada parcial — isto é, derivamos a componente correspondente em relação à sua variável, tratando as outras variáveis como constantes. Na prova, aplicar essa fórmula é direto: identificar F_x,F_y,F_z e calcular três derivadas parciais.

Passo 3

Identificar as componentes do campo extraídas do enunciado:
  • A componente na direção \hat{i} (ou x) é F_x(x,y,z)=x y z — peguei este valor do enunciado.
  • A componente na direção \hat{j} (ou y) é F_y(x,y,z)=0 — porque não há termo em \hat{j} no enunciado.
  • A componente na direção \hat{k} (ou z) é F_z(x,y,z)=x^{2}y — peguei este valor do enunciado.

Passo 4

Calcular cada derivada parcial, explicando passo a passo:
  1. Derivada parcial de F_x em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(x y z).
Aqui y e z são tratados como constantes. A derivada de x é 1, então o resultado é y z. Em notação:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=y z.
Um pequeno lembrete prático: quando a função é um produto simples x\cdot(\text{constante}), a derivada em relação a x é só a constante.
  1. Derivada parcial de F_y em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(0)=0,
pois a derivada de uma função identicamente nula é zero.
  1. Derivada parcial de F_z em relação a z:
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y).
Aqui x^{2}y não depende de z (tratamos x e y como constantes), portanto a derivada é zero:
\frac{\partial F_z}{\partial z}=0.

Passo 5

Somar os três termos segundo a fórmula do divergente:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=y z + 0 + 0.
Portanto o divergente simplifica para y z.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: \nabla\cdot\vec{F}=y z significa que, ponto a ponto, a “taxa neta de saída” do campo é proporcional ao produto das coordenadas y e z. Na prova, para campos com componentes ausentes (como aqui a componente em \hat{j}), lembre-se sempre de considerar essa componente como zero e de que derivar em relação a uma variável de uma expressão que não depende dela dá zero — isso poupa muitas contas.

Resposta

y z

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