Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5} \operatorname{sen}\left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\right) d s
onde C é a curva dada:
pelo segmento de reta com início na origem e final no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big)\,d s
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0) a (1,1).
Informações dadas:
\text{Função a integrar: } f(x,y)=x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big).çã
\text{Curva } C: \text{segmento de reta de }(0,0)\text{ até }(1,1).é
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha por comprimento de arco indicada acima.

Passo 2

Vamos lembrar (bem devagarinho) a ideia que precisamos usar: quando temos uma integral de linha por comprimento de arco \int_{C} f(x,y)\,d s e a curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando em um intervalo [a,b], então substituímos x=x(t), y=y(t) e
d s = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt = \sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Assim a integral fica
\int_{C} f(x,y)\,d s = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt.
Isso é só trocar a curva por uma variável de parâmetro — igual trocar passos em uma receita de bolo.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de reta de (0,0) a (1,1). A escolha mais simples é
\mathbf{r}(t)=(t,t),\quad t\in[0,1].
Isto porque para t=0 temos (0,0) e para t=1 temos (1,1). Então
x(t)=t,\qquad y(t)=t.

Passo 4

Calculemos \mathbf{r}'(t) e o comprimento infinitesimal d s:
\mathbf{r}'(t)=(1,1),
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\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
d s = \sqrt{2}\,dt.

Passo 5

Substituímos x=t e y=t na função integranda. Primeiro calculemos x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2}=t^{2}+t^{2}=2t^{2}.
Então
(x^{2}+y^{2})^{3}=(2t^{2})^{3}=8t^{6}.
A parte x^{5} vira t^{5}. Assim a função dentro da integral se transforma em
x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big) = t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big( \pi\cdot 8t^{6}\big)=t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big).

Passo 6

Agora montamos a integral em termos de t:
\int_{C} x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big)\,d s = \int_{0}^{1} \big(t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big)\big)\,\big(\sqrt{2}\,dt\big).
Colocando a constante \sqrt{2} à frente:
= \sqrt{2}\,\int_{0}^{1} t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big)\,dt.

Passo 7

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{1} t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big)\,dt fazemos a substituição típica para potências: deixe
u=8\pi t^{6}.
Calculamos du. Como u=8\pi t^{6}, derivando,
du = 8\pi\cdot 6 t^{5}\,dt = 48\pi\, t^{5}\,dt.
Isolando t^{5}\,dt:
t^{5}\,dt = \frac{du}{48\pi}.
Quando t=0 temos u=0. Quando t=1 temos u=8\pi. Então a integral em t vira uma integral em u:
\int_{0}^{1} t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big)\,dt = \int_{0}^{8\pi} \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{48\pi} = \frac{1}{48\pi}\int_{0}^{8\pi} \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 8

Voltando o fator \sqrt{2} que estava fora:
\sqrt{2}\,\int_{0}^{1} t^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(8\pi t^{6}\big)\,dt = \frac{\sqrt{2}}{48\pi}\int_{0}^{8\pi} \operatorname{sen}(u)\,du.
Sabemos que uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Logo
\int_{0}^{8\pi} \operatorname{sen}(u)\,du = \big[-\cos(u)\big]_{0}^{8\pi} = -\cos(8\pi)+\cos(0).

Passo 9

Calculamos os cossenos: \cos(0)=1 e \cos(8\pi)=\cos(2\cdot 4\pi)=1 porque o cosseno é periódico de período 2\pi. Portanto
-\cos(8\pi)+\cos(0) = -1 + 1 = 0.
Assim o inteiro todo fica
\frac{\sqrt{2}}{48\pi}\cdot 0 = 0.

Passo 10

Conclusão: a integral de linha por comprimento de arco ao longo do segmento de reta de (0,0) até (1,1) é zero. Pode parecer mágico, mas é só consequência de a função dentro da integral, após mudança de variável, se tornar uma integral completa de um seno num intervalo de comprimento inteiro múltiplo de 2\pi, dando cancelamento total.

Resposta

0

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