Calcule a integral de linha por comprimento de arco
onde
é a curva dada:
pelo segmento de reta com início na origem e final no ponto ( 1,1 ).
pelo segmento de reta com início na origem e final no ponto ( 1,1 ).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
onde
é o segmento de reta que vai de
a
.
Informações dadas:
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha por comprimento de arco indicada acima.
Passo 2
Vamos lembrar (bem devagarinho) a ideia que precisamos usar: quando temos uma integral de linha por comprimento de arco
e a curva
é parametrizada por
, com
variando em um intervalo
, então substituímos
,
e
Assim a integral fica
Isso é só trocar a curva por uma variável de parâmetro — igual trocar passos em uma receita de bolo.
Passo 3
Parametrizamos o segmento de reta de
a
. A escolha mais simples é
Isto porque para
temos
e para
temos
. Então
Passo 4
Calculemos
e o comprimento infinitesimal
:
logo
Portanto
Passo 5
Substituímos
e
na função integranda. Primeiro calculemos
:
Então
A parte
vira
. Assim a função dentro da integral se transforma em
Passo 6
Agora montamos a integral em termos de
:
Colocando a constante
à frente:
Passo 7
Para resolver
fazemos a substituição típica para potências: deixe
Calculamos
. Como
, derivando,
Isolando
:
Quando
temos
. Quando
temos
. Então a integral em
vira uma integral em
:
Passo 8
Voltando o fator
que estava fora:
Sabemos que uma primitiva de
é
. Logo
Passo 9
Calculamos os cossenos:
e
porque o cosseno é periódico de período
. Portanto
Assim o inteiro todo fica
Passo 10
Conclusão: a integral de linha por comprimento de arco ao longo do segmento de reta de
até
é zero. Pode parecer mágico, mas é só consequência de a função dentro da integral, após mudança de variável, se tornar uma integral completa de um seno num intervalo de comprimento inteiro múltiplo de
, dando cancelamento total.