a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Enuncie o criério M de Weierstrass.
b) (1,5 \mathrm{pt}) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{3} \cos \left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3} é uniformemente convergente em [0,3].
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
(a) Pede que eu enuncie o critério de Weierstrass (o chamado "crité rio M").
(b) Pede para mostrar que a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3}
é uniformemente convergente em [0,3].
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o termo geral da série é \dfrac{x^{3}\cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2n}+n^{4}+3} e o intervalo de estudo é [0,3]. Não há outras figuras ou tabelas.
Passo 2
(a) Enunciado do critério M de Weierstrass: seja E um conjunto e (f_n)_{n\ge1} uma sequência de funções definidas em E. Se existirem números não negativos (M_n)_{n\ge1} tais que, para todo x\in E e todo n\ge1,
|f_n(x)| \le M_n,
e a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} M_n
converge, então a série de funções
\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)
converge absolutamente e uniformemente em E.
Passo 3
Explicação didática do porquê do critério M funcionar (pequena prova): escolha um \varepsilon>0. Como \sum M_n converge, existe N tal que, para todo p>q\ge N,
\sum_{k=q+1}^{p} M_k < \varepsilon.
Para qualquer x\in E e quaisquer p>q\ge N, por desigualdade triangular e pela hipótese |f_k(x)|\le M_k,
Isso mostra que as somas parciais formam uma sequência de Cauchy uniformemente em x, logo a série converge uniformemente. A mesma desigualdade mostra a convergência absoluta ponto a ponto porque \sum |f_n(x)| \le \sum M_n <\infty.
Passo 4
Começo a parte (b). Vou aplicar o critério M. Primeiro observo o valor absoluto do termo geral da série:
\left|\frac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3}\right| = \frac{x^{3}\,|\cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)|}{x^{2 n}+n^{4}+3}.
Usando que para todo real t vale |\cos t|\le 1, obtemos
\left|\frac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3}\right| \le \frac{x^{3}}{x^{2 n}+n^{4}+3}.
Passo 5
Agora faço uma estimativa uniforme em x\in[0,3]. Para x\in[0,3] temos x^{3}\le 27. Além disso x^{2n}\ge 0 para todo n, logo para todo x\in[0,3] e todo n\ge1 vale
Assim podemos escolher como sequência de majorantes (os M_n do critério) por exemplo
M_n = \frac{27}{n^{4}}.
Passo 6
Verifico a soma dos M_n. A série numérica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{27}{n^{4}} é uma constante 27 vezes a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{4}}. A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge sempre que p>1 (série p-de Riemann). Aqui p=4>1, portanto
\left|\frac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3}\right| \le M_n
com \sum M_n<\infty, os hipóteses do critério M estão satisfeitas. Pelo critério de Weierstrass a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3}
converge absolutamente e uniformemente em [0,3]. Observação: poderia também ter escolhido M_n=\dfrac{27}{n^{4}+3}, que é ainda mais apertado; o importante é que exista uma sequência M_n independente de x com soma finita.
Resposta
(a) Seja E um conjunto e (f_n)_{n\ge1} uma sequência de funções em E. Se existirem M_n\ge0 tais que, para todo x\in E, |f_n(x)|\le M_n e \sum_{n=1}^{\infty} M_n<\infty, então \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge absolutamente e uniformemente em E.
(b) A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{3} \cos\!\left(n^{5}+2 n x\right)}{x^{2 n}+n^{4}+3} é uniformemente convergente em [0,3].