Questão 3.

(3,0 pt) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial \vec{F}(x, y)=x e^{5 x} \vec{i}+x^{2} y \vec{j} ao se mover uma partícula ao longo da curva C dada pelo gráfico y=x^{4}+3 x+1 de (0,1) até o ponto (1,5).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado pelo campo vetorial \vec{F}(x,y)=x e^{5x}\,\vec{i} + x^{2}y\,\vec{j} ao mover uma partícula ao longo da curva C que é o gráfico
y = x^{4} + 3x + 1
do ponto (0,1) até o ponto (1,5).
Informações dadas e o que é pedido:
  • Componente P(x,y)=x e^{5x}.
  • Componente Q(x,y)=x^{2}y.
  • Curva C é dada explicitamente por y=y(x)=x^{4}+3x+1.
  • Limites do percurso: x vai de 0 até 1.
  • Objetivo: calcular o trabalho W realizado por \vec{F} ao longo de C.

Passo 2

Fórmula do trabalho para um campo no plano: se \vec{F}=P\,\vec{i}+Q\,\vec{j} e C é uma curva orientada, o trabalho é dado por
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C} P\,dx + Q\,dy.
Explicação curta: d\vec{r}=dx\,\vec{i}+dy\,\vec{j}, então o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy.

Passo 3

Como a curva é o gráfico y=y(x), é natural parametrizá-la por x. Tomamos a parametrização
\vec{r}(x) = \bigl(x,\; y(x)\bigr),\qquad 0\le x\le 1,
com y(x)=x^{4}+3x+1. Então dy = y'(x)\,dx, onde
y'(x)=4x^{3}+3.
Substituindo em W=\int_C P\,dx+Q\,dy obtemos, em variável x,
W=\int_{0}^{1}\bigl[ P(x,y(x)) + Q(x,y(x))\,y'(x)\bigr]\,dx.
Como P(x,y)=x e^{5x} e Q(x,y)=x^{2}y, o integrando fica
x e^{5x} + x^{2}y(x)\,y'(x).
Portanto separamos
W = \int_{0}^{1} x e^{5x}\,dx \;+\; \int_{0}^{1} x^{2}y(x)\,y'(x)\,dx.
Denotemos I_{1}=\int_{0}^{1} x e^{5x}\,dx e I_{2}=\int_{0}^{1} x^{2}y\,y'\,dx.

Passo 4

Cálculo de I_{1}=\int_{0}^{1} x e^{5x}\,dx.
Usamos integração por partes: escolhemos u=x e dv=e^{5x}dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{5}e^{5x}. Logo
I_{1} = \left. x\cdot\frac{1}{5}e^{5x}\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5}e^{5x}\,dx.
Calculando os termos:
\left. x\cdot\frac{1}{5}e^{5x}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{5}e^{5} - 0,
e
\int_{0}^{1} \frac{1}{5}e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\bigl(e^{5}-1\bigr)=\frac{1}{25}\bigl(e^{5}-1\bigr).
Subtraindo:
I_{1}=\frac{1}{5}e^{5}-\frac{1}{25}\bigl(e^{5}-1\bigr)=\frac{4}{25}e^{5}+\frac{1}{25}.

Passo 5

Cálculo de I_{2}=\int_{0}^{1} x^{2}y\,y'\,dx.
Observação útil (identidade): y\,y'=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr). Então
I_{2}=\int_{0}^{1} x^{2}\,y\,y'\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)\,dx.
Agora fazemos integração por partes pensando em \int x^{2}\,d(y^{2}). Use a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com u=x^{2} e dv=d(y^{2}). Assim
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}\,d(y^{2}) = \frac{1}{2}\bigl[ x^{2}y^{2}\bigr]_{0}^{1} - \frac{1}{2}\int_{0}^{1} y^{2}\,d(x^{2}).
Como d(x^{2})=2x\,dx, isto vira
I_{2} = \frac{1}{2}\,1^{2}\,y(1)^{2} - \int_{0}^{1} x\,y^{2}\,dx.
Calculamos y(1)=1^{4}+3\cdot1+1=5. Então
\frac{1}{2}\,y(1)^{2}=\frac{1}{2}\cdot 25=\frac{25}{2},
e portanto
I_{2}=\frac{25}{2} - \int_{0}^{1} x\,y^{2}\,dx.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1} x\,y^{2}\,dx com y(x)=x^{4}+3x+1.
Primeiro expandimos y^{2}:
y^{2}=(x^{4}+3x+1)^{2}=x^{8}+6x^{5}+2x^{4}+9x^{2}+6x+1.
Explicação rápida da expansão: use (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc com a=x^{4},\,b=3x,\,c=1.
Multiplicando por x obtemos
x\,y^{2}=x^{9}+6x^{6}+2x^{5}+9x^{3}+6x^{2}+x.
Integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{9}\,dx=\frac{1}{10},\quad \int_{0}^{1} 6x^{6}\,dx=6\cdot\frac{1}{7}=\frac{6}{7},
\int_{0}^{1} 2x^{5}\,dx=2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1} 9x^{3}\,dx=9\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{4},
\int_{0}^{1} 6x^{2}\,dx=6\cdot\frac{1}{3}=2,\quad \int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Somando:
\int_{0}^{1} x\,y^{2}\,dx = \frac{1}{10}+\frac{6}{7}+\frac{1}{3}+\frac{9}{4}+2+\frac{1}{2}.
Colocando em denominar comum e somando dá
\int_{0}^{1} x\,y^{2}\,dx = \frac{2537}{420}.

Passo 7

Voltando a I_{2}:
I_{2}=\frac{25}{2} - \frac{2537}{420}.
Escrevendo com denominador 420:
\frac{25}{2}=\frac{5250}{420},
então
I_{2}=\frac{5250-2537}{420}=\frac{2713}{420}.

Passo 8

Somando I_{1} e I_{2} para obter o trabalho total W:
W = I_{1}+I_{2} = \left(\frac{4}{25}e^{5}+\frac{1}{25}\right) + \frac{2713}{420}.
Juntando as partes racionais \dfrac{1}{25}+\dfrac{2713}{420}: com denominador 2100,
\frac{1}{25}=\frac{84}{2100},\qquad \frac{2713}{420}=\frac{13565}{2100},
logo
\frac{1}{25}+\frac{2713}{420}=\frac{84+13565}{2100}=\frac{13649}{2100}.
Portanto o trabalho final é
W=\frac{4}{25}e^{5}+\frac{13649}{2100}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{25}e^{5}+\frac{13649}{2100}

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