Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5} \operatorname{sen}\left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\right) d s
onde C é a curva dada:
pelo menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 entre (\sqrt{3}, 0) e (0, \sqrt{3}).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big)\,d s
onde C é o menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 que vai do ponto (\sqrt{3},0) até o ponto (0,\sqrt{3}).
Informações relevantes dadas:
x^{2}+y^{2}=3 \quad\text{(equação do círculo)},
os pontos finais são (\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}), que correspondem aos ângulos \,0 e \pi/2 num sistema polar; portanto o arco é o quarto de círculo com raio \sqrt{3} e parâmetro angular variando de 0 a \pi/2.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização natural para um círculo de raio \sqrt{3}. Como os pontos indicam o primeiro quadrante, tomamos
pois \operatorname{sen}(k\pi)=0 para todo inteiro k. Assim o fator trigonométrico é zero para todo t, o que faz com que o integrando seja identicamente zero em [0,\tfrac{\pi}{2}].
Passo 6
Como o integrando é zero para todo t no intervalo, a integral é zero: