Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5} \operatorname{sen}\left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\right) d s
onde C é a curva dada:
pelo menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 entre (\sqrt{3}, 0) e (0, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} x^{5}\,\operatorname{sen}\!\big(\pi (x^{2}+y^{2})^{3}\big)\,d s
onde C é o menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 que vai do ponto (\sqrt{3},0) até o ponto (0,\sqrt{3}).
Informações relevantes dadas:
x^{2}+y^{2}=3 \quad\text{(equação do círculo)},çãí
os pontos finais são (\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}), que correspondem aos ângulos \,0 e \pi/2 num sistema polar; portanto o arco é o quarto de círculo com raio \sqrt{3} e parâmetro angular variando de 0 a \pi/2.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização natural para um círculo de raio \sqrt{3}. Como os pontos indicam o primeiro quadrante, tomamos
x(t)=\sqrt{3}\cos t,\qquad y(t)=\sqrt{3}\sin t,\qquad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Esta parametrização satisfaz x^{2}(t)+y^{2}(t)=3 para todo t, e em t=0 obtemos (\sqrt{3},0), em t=\tfrac{\pi}{2} obtemos (0,\sqrt{3}).

Passo 3

Agora calculamos o vetor velocidade e o elemento de comprimento. Derivando:
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sqrt{3}\sin t,\;\sqrt{3}\cos t\big).
O módulo (velocidade) é
\big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(\sqrt{3}\sin t)^{2}+(\sqrt{3}\cos t)^{2}} =\sqrt{3(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=\sqrt{3}.
Portanto o diferencial de comprimento é
d s=\big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert dt=\sqrt{3}\,dt.

Passo 4

A fórmula da integral de linha por comprimento de arco para função escalar f(x,y) é
\int_{C} f(x,y)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert dt.
Substituindo f(x,y)=x^{5}\operatorname{sen}\!\big(\pi(x^{2}+y^{2})^{3}\big), a parametrização e d s=\sqrt{3}\,dt, obtemos
\int_{C} x^{5}\operatorname{sen}\!\big(\pi(x^{2}+y^{2})^{3}\big)\,ds =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(\sqrt{3}\cos t\big)^{5}\, \operatorname{sen}\!\big(\pi\big(x^{2}(t)+y^{2}(t)\big)^{3}\big)\,\sqrt{3}\,dt.

Passo 5

Mas como x^{2}(t)+y^{2}(t)=3 para todo t, temos
\big(x^{2}(t)+y^{2}(t)\big)^{3}=3^{3}=27,
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\operatorname{sen}\!\big(\pi\cdot 27\big)=\operatorname{sen}\!(27\pi)=0,
pois \operatorname{sen}(k\pi)=0 para todo inteiro k. Assim o fator trigonométrico é zero para todo t, o que faz com que o integrando seja identicamente zero em [0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Como o integrando é zero para todo t no intervalo, a integral é zero:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0\,dt = 0.

Resposta

0

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