Calcule a integral de linha da curva C : \int\left(x y+x^{2}\right) d s, se as equações paramétricas de C são \mathrm{x}=3 \mathrm{t}-1; \mathrm{y}=3 \mathrm{t}^{2}-2 \mathrm{t} ; \mathrm{e} 1 \leq \mathrm{t} \leq \frac{5}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
f(x,y)=x\,y + x^2
ao longo da curva C definida por
x=3t-1,\quad y=3t^2-2t,\quad 1\le t\le \tfrac{5}{3},
isto é,
\int_C (x\,y + x^2)\,ds.
O conteúdo principal envolve reescrever ds e f em termos de um único parâmetro ou variável, e depois integrar.

Passo 2

Vamos expressar f e ds em função de t. Primeiro,
x(t)=3t-1,\quad y(t)=3t^2-2t.
Logo
x\,y = (3t-1)(3t^2-2t)=9t^3-9t^2+2t,
x^2=(3t-1)^2=9t^2-6t+1,
e portanto
f(t)=x\,y + x^2 = 9t^3-9t^2+2t +9t^2-6t+1 = 9t^3 -4t +1.

Passo 3

Agora,
\frac{dx}{dt}=3,\quad \frac{dy}{dt}=6t-2,
então
ds = \sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\;dt = \sqrt{9 + (6t-2)^2}\;dt = \sqrt{36t^2-24t+13}\;dt.
Assim a integral fica
I = \int_{t=1}^{t=5/3} \bigl(9t^3-4t+1\bigr)\,\sqrt{36t^2-24t+13}\;dt.

Passo 4

Para facilitar a integração, mudamos de parâmetro t para a variável x.
Como x=3t-1, quando t=1 temos x=2 e quando t=5/3 temos x=4.
Também notamos
t=\frac{x+1}{3},\quad y=3t^2-2t = \frac{x^2-1}{3}.
Calculamos
\frac{dy}{dx} = \frac{6t-2}{3} =2t-\frac{2}{3} = \frac{2x}{3},
portanto
ds = \sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2}\;dx = \sqrt{1+\frac{4x^2}{9}}\;dx = \frac{\sqrt{4x^2+9}}{3}\;dx.
E
f(x,y) = x\,y + x^2 = x\cdot\frac{x^2-1}{3} + x^2 = \frac{x^3 - x}{3} + x^2 = \frac{x^3+3x^2 - x}{3}.

Passo 5

Substituindo em I=\int_C f\,ds, obtemos
I = \int_{x=2}^{x=4} \frac{x^3+3x^2 - x}{3}\;\frac{\sqrt{4x^2+9}}{3}\;dx = \frac{1}{9}\int_{2}^{4} (x^3+3x^2 - x)\,\sqrt{4x^2+9}\;dx.

Passo 6

Fazemos a substituição auxiliar
w = \sqrt{4x^2+9} \quad\Longrightarrow\quad dw = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+9}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{w}{4}\,dw.
Escrevemos o polinômio em x como soma de três termos e usamos x\,dx = w\,dw/4.
Depois de distribuir e recolher termos, chega-se a um antiderivado em potências de w.

Passo 7

O resultado da integração provoca um antiderivado que, reescrito em w, é
\frac{1}{144}\Bigl[ \frac{w^5}{5} + \frac{3w^4}{4} - \frac{13w^3}{3} - \frac{27w^2}{2} \Bigr]_{w(2)}^{w(4)},
onde
w(2)=\sqrt{4\cdot2^2+9}=5, \qquad w(4)=\sqrt{4\cdot4^2+9}=\sqrt{73}.

Passo 8

Avaliamo entre x=2 e x=4. Após simplificar as frações, obtemos
I = \frac{4195}{216} \;+\;\frac{5621}{1080}\,\sqrt{73}.

Resposta

\boxed{\,\frac{4195}{216} \;+\;\frac{5621}{1080}\,\sqrt{73}\,}.

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