Calcule a integral de linha da curva C :
, se as equações paramétricas de C são
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
ao longo da curva
definida por
isto é,
O conteúdo principal envolve reescrever
e
em termos de um único parâmetro ou variável, e depois integrar.
Passo 2
Vamos expressar
e
em função de
. Primeiro,
Logo
e portanto
Passo 3
Agora,
então
Assim a integral fica
Passo 4
Para facilitar a integração, mudamos de parâmetro
para a variável
.
Como , quando
temos
e quando
temos
.
Também notamos
Como
Também notamos
Calculamos
portanto
E
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Passo 6
Fazemos a substituição auxiliar
Escrevemos o polinômio em
como soma de três termos e usamos
.
Depois de distribuir e recolher termos, chega-se a um antiderivado em potências de .
Depois de distribuir e recolher termos, chega-se a um antiderivado em potências de
Passo 7
O resultado da integração provoca um antiderivado que, reescrito em
, é
onde
Passo 8
Avaliamo entre
e
. Após simplificar as frações, obtemos