Calcule usando o teorema de Green \oint \frac{-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y, sendo \gamma(\mathrm{t})=(\cos \mathrm{t}, sen t ); considere x^{2}+y^{2}=9, sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Teorema de Green, a integral de linha
\oint_{\gamma} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx \;+\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy
ao longo da curva \gamma que é o círculo x^{2}+y^{2}=9 percorrido no sentido anti-horário. Aqui
P(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \quad\text{e}\quad Q(x,y) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}},
e o domínio interior à curva contém a singularidade na origem, onde P e Q não estão definidos.

Passo 2

Verificamos que
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = \frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} \;-\;\frac{\partial P}{\partial y} =0.
Mas como a região interior ao círculo envolve o ponto (0,0), onde P,Q são singulares, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green sobre todo o disco.

Passo 3

Para contornar isso, retiramos um pequeno círculo interior C_{\varepsilon} de raio \varepsilon em torno de (0,0). No anel compreendido entre C_{\varepsilon} e \gamma, temos
\iint_{\text{anel}}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA \;=\;0
pelo Teorema de Green, já que o campo é regular nesse anel. Portanto, a soma das integrais de linha sobre a fronteira do anel (curva externa \gamma no sentido CCW e curva interna C_{\varepsilon} no sentido CW) é zero:
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy \;+\;\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy \;=\;0.

Passo 4

Calculamos agora a integral sobre o círculo pequeno C_{\varepsilon}. Parametrizando
x=\varepsilon\cos t,\quad y=\varepsilon\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
temos dx=-\varepsilon\sin t\,dt, dy=\varepsilon\cos t\,dt. Então
P\,dx+Q\,dy =\Bigl(-\frac{\varepsilon\sin t}{\varepsilon^{2}}\Bigr)(-\varepsilon\sin t\,dt) +\Bigl(\frac{\varepsilon\cos t}{\varepsilon^{2}}\Bigr)(\varepsilon\cos t\,dt) =(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt =dt.
Integrando de 0 a 2\pi e lembrando que C_{\varepsilon} está percorrida no sentido horário, sua contribuição é
\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy =-\int_{0}^{2\pi}dt =-2\pi.

Passo 5

Voltando à relação do Passo 3,
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy \;+\;(-2\pi)=0 \quad\Longrightarrow\quad \oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy = 2\pi.

Resposta

2\pi

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