Calcule usando o teorema de Green
, sendo
, sen t ); considere
, sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando o Teorema de Green, a integral de linha
ao longo da curva
que é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Aqui
e o domínio interior à curva contém a singularidade na origem, onde
e
não estão definidos.
Passo 2
Verificamos que
Logo
Mas como a região interior ao círculo envolve o ponto
, onde
são singulares, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green sobre todo o disco.
Passo 3
Para contornar isso, retiramos um pequeno círculo interior
de raio
em torno de
. No anel compreendido entre
e
, temos
pelo Teorema de Green, já que o campo é regular nesse anel. Portanto, a soma das integrais de linha sobre a fronteira do anel (curva externa
no sentido CCW e curva interna
no sentido CW) é zero:
Passo 4
Calculamos agora a integral sobre o círculo pequeno
. Parametrizando
temos
,
. Então
Integrando de
a
e lembrando que
está percorrida no sentido horário, sua contribuição é
Passo 5
Voltando à relação do Passo 3,