Calcule a divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
F(x y)=y i+x j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em duas dimensões
\mathbf{F}(x,y)=y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}
e pede que a gente calcule a divergente e o rotacional. Para isso, vamos usar as definições do cálculo vetorial em \mathbb{R}^2:
– A divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}.
– O rotacional (componente em k) é
\nabla\times\mathbf{F} =\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.

Passo 2

Calcular a divergente:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y)+\frac{\partial}{\partial y}(x) =0+0 =0.

Passo 3

Calcular o rotacional:
\nabla\times\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(y) =1-1 =0.

Resposta

A divergente é 0 e o rotacional é 0.

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