Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
l integralC(x^2+y^2+z^2) d s C: x=t, y=cos 2 t, z=sen 2 t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha de uma função escalar sobre uma curva espacial. Em termos de matéria, vamos usar parametrização de curva e a fórmula
integralCf(x,y,z),ds =integrala^bfl(r(t)r),l|r'(t)r|,dt
Aqui r(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x=t, y=cos2t, z=sin2t e tin[0,2pi].

Passo 2

Calculamos r'(t) e seu módulo:
r'(t)=l(1,,-2sin2t,;2cos2tr),
l|r'(t)r| =raiz1+(-2sin2t)^2+(2cos2t)^2 =raiz1+4sin^22t+4cos^22t =raiz1+4 =raiz5

Passo 3

Substituímos na função integranda:
fl(r(t)r) =x^2+y^2+z^2 =t^2+cos^22t+sin^22t =t^2+1,
pois cos^22t+sin^22t=1.

Passo 4

Montamos e calculamos a integral:
integralC(x^2+y^2+z^2),ds =integral0^2pi(t^2+1),raiz5,dt =raiz5integral0^2pi(t^2+1),dt
Resolvendo,
integral0^2pi(t^2+1),dt =[t^33+t]0^2pi =(2pi)^33+2pi =8pi^33+2pi

Resposta

integralC(x^2+y^2+z^2),ds =raiz5l(tfrac8pi^33+2pir)

Exercícios relacionados