Considere a equação integral
f(t)+integral0^t(t-x) f(x) d x=sin (2 t)
Mostre que a equação integral é equivalente ao problema do valor inicial
u^prime prime+u=sin (2 t), u(0)=0, u^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de Volterra
f(t)+integral0^t(t-x),f(x),dx=sin(2t),
e pede para mostrarmos que isso é equivalente ao problema de valor inicial
u''(t)+u(t)=sin(2t), u(0)=0,;u'(0)=0
O conteúdo aqui é reconhecer a integral como uma convolução do tipo integral0^t(t-x)f(x),dx e usar derivação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) para obter uma EDO de segunda ordem com condições iniciais.

Passo 2

Definimos
u(t)=integral0^t(t-x),f(x),dx
Aplicando a regra de Leibniz para derivar em t, temos
u'(t) =integral0^tpartialpartial tl((t-x)f(x)r),dx +underbrace(t-t)f(t)=0 =integral0^tf(x),dx
Em particular, u(0)=0 e u'(0)=0. Derivando mais uma vez,
u''(t)=f(t)

Passo 3

Na equação integral original substituímos f(t)=u''(t) e
integral0^t(t-x)f(x),dx=u(t). Isso dá
u''(t)+u(t)=sin(2t),
com as condições iniciais já vistas no Passo 2: u(0)=0 e u'(0)=0.

Resposta

A equação integral
f(t)+integral0^t(t-x),f(x),dx=sin(2t)
é equivalente ao problema de valor inicial
u''(t)+u(t)=sin(2t), u(0)=0, u'(0)=0

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