Mostre que a equação integral é equivalente ao problema do valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação integral de Volterra
e pede para mostrarmos que isso é equivalente ao problema de valor inicial
O conteúdo aqui é reconhecer a integral como uma convolução do tipo e usar derivação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) para obter uma EDO de segunda ordem com condições iniciais.
Passo 2
Definimos
Aplicando a regra de Leibniz para derivar em , temos
Em particular, u(0)=0 e u'(0)=0. Derivando mais uma vez,
u''(t)=f(t)
Passo 3
Na equação integral original substituímos f(t)=u''(t) e integral0^t(t-x)f(x),dx=u(t). Isso dá
u''(t)+u(t)=sin(2t),
com as condições iniciais já vistas no Passo 2: u(0)=0 e u'(0)=0.