Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
l integralC y e^z d z+x ln x d y-y d x C: x=e^t, y=2 t, z=ln t, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC y,e^z,dz ;+; xln x,dy ;-; y,dx
sobre a curva paramétrica
x(t)=e^t, y(t)=2t, z(t)=ln t, tin[1,2]
O conteúdo usado será parametrização de curvas e substituição direta na forma diferencial P,dx+Q,dy+R,dz.

Passo 2

Identificamos
P(x,y,z)=-y, Q(x,y,z)=xln x, R(x,y,z)=y,e^z
e calculamos as derivadas da parametrização:
dxdt=e^t, dydt=2, dzdt=1t

Passo 3

Substituindo em
integral1^2l[P,x'(t)+Q,y'(t)+R,z'(t)r],dt
temos integrando
-ycdot x' ;+; xln xcdot y' ;+; y,e^zcdot z' =-2tcdot e^t ;+; e^tln(e^t)cdot2 ;+; 2tcdot e^ln tcdot1t
Como ln(e^t)=t e e^ln t=t, isso vira
-2t,e^t + 2e^tcdot t + 2tcdottt =0 + 2t = 2t

Passo 4

A integral fica
integral1^22t,dt = l[t^2r]1^2 = 4 - 1 = 3

Resposta

3

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