Calcule a integral de linha, em que C é a curva plana fornecida.
integralC(x^2 y+sen x) d y,
C é o arco da parábola y=x^2 de(0,0) a (pi, pi^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é tipo uma soma ao longo de uma curva. Aqui, a curva C é o arco da parábola y = x^2 , indo do ponto (0, 0) até (pi, pi^2) . A função que vamos integrar é x^2 y + sin x em relação a dy . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C . Como y = x^2 , podemos usar x como nosso parâmetro. Então, escolhemos:
x = t com t in [0, pi]
Assim, y = t^2 . Dessa forma, a curva é descrita por r(t) = (t, t^2) .

Passo 3

Agora, precisamos expressar dy em termos de dt . Derivando y = t^2 em relação a t , temos:
dy = dydt dt = 2t , dt

Passo 4

Substituímos x , y e dy na integral de linha. A integral fica:
integralC (x^2 y + sin x) dy = integral0^pi (t^2 cdot t^2 + sin t) cdot 2t , dt
Simplificando dentro da integral:
= integral0^pi (t^4 + sin t) cdot 2t , dt = integral0^pi (2t^5 + 2t sin t) , dt

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi 2t^5 , dt + integral0^pi 2t sin t , dt

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integral 2t^5 , dt = 2 cdot t^66 = t^63
Avaliando de 0 a pi :
[pi^63] - [0^63] = pi^63

Passo 7

Agora, a segunda integral: integral 2t sin t , dt . Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = 2t Rightarrow du = 2 , dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Então, aplicando integração por partes:
integral 2t sin t , dt = -2t cos t + 2 integral cos t , dt = -2t cos t + 2 sin t
Avaliando de 0 a pi :
[-2pi cos pi + 2 sin pi] - [-2 cdot 0 cdot cos 0 + 2 sin 0] = -2pi (-1) + 0 - 0 = 2pi

Resposta

Somando as duas partes, a integral de linha é:
pi^63 + 2pi

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