Calcule a integral de linha, em que
é a curva plana fornecida.
,
é o arco da parábola
a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é tipo uma soma ao longo de uma curva. Aqui, a curva
é o arco da parábola
, indo do ponto
até
. A função que vamos integrar é
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, escolhemos:
Assim,
. Dessa forma, a curva é descrita por
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
,
e
na integral de linha. A integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Calculando a primeira integral:
Avaliando de
a
:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Então, aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Resposta
Somando as duas partes, a integral de linha é: