Nos itens abaixo, determine:
- os números críticos;
- os intervalos nos quais fé crescente;
- os intervalos nos quais fé decrescente;
- os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
- os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
- as coordenadas
de todos os pontos de inflexão
- achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando (1) números críticos, (2–3) intervalos de crescimento/decrescimento, (4–5) intervalos de concavidade para cima/baixo, (6) pontos de inflexão e (7) extremos relativos. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para encontrar os números críticos:
Em seguida, achamos onde
ou indefinida. Aqui
está definida para todo
e
Logo, os números críticos são
e
.
Passo 3
Para ver onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
se , então
e
(cresce);
se , então
e
(decresce).
Portanto:
– cresce em
e em
.
– decresce em
.
se
se
Portanto:
–
–
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
Então
– se
, concavidade para cima em
.
– se
, concavidade para baixo em
.
–
–
Passo 5
Os pontos de inflexão são onde
e muda de sinal. Temos
e de fato a concavidade troca de baixo (quando
) para cima (quando
). O ponto de inflexão é
.
Passo 6
Usamos o teste da primeira derivada nos números críticos:
– Em ,
muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), logo há um máximo local.
– Em
– Em
,
muda de negativo para positivo, logo há um mínimo local.
Resposta
- Números críticos:
e . - Crescente em
e . - Decrescente em
. - Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Ponto de inflexão:
(coordenadas ). - Extremos relativos: máximo em
, mínimo em .