Nos itens abaixo, determine:
  1. os números críticos;
  2. os intervalos nos quais fé crescente;
  3. os intervalos nos quais fé decrescente;
  4. os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
  5. os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
  6. as coordenadas x de todos os pontos de inflexão
  7. achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
    f(x)=x^5-5 x5

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x^5-5x5
determinando (1) números críticos, (2–3) intervalos de crescimento/decrescimento, (4–5) intervalos de concavidade para cima/baixo, (6) pontos de inflexão e (7) extremos relativos. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para encontrar os números críticos:
f'(x)=ddxl(x^5-5x5r) =5x^4-55 =x^4-1
Em seguida, achamos onde f'(x)=0 ou indefinida. Aqui f' está definida para todo x e
x^4-1=0implies x^4=1implies x=pm1
Logo, os números críticos são x=-1 e x=1.

Passo 3

Para ver onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x)=x^4-1:
se lvert xrvert>1, então x^4>1 e f'(x)>0 (cresce);
se -1<x<1, então x^4<1 e f'(x)<0 (decresce).
Portanto:
f cresce em (-infty,-1) e em (1,infty).
f decresce em (-1,1).

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
f''(x)=ddx(x^4-1)=4x^3
Então
f''(x)>0 se x>0, concavidade para cima em (0,infty).
f''(x)<0 se x<0, concavidade para baixo em (-infty,0).

Passo 5

Os pontos de inflexão são onde f''(x)=0 e muda de sinal. Temos
4x^3=0implies x=0,
e de fato a concavidade troca de baixo (quando x<0) para cima (quando x>0). O ponto de inflexão é l(0,f(0)r)=(0,0).

Passo 6

Usamos o teste da primeira derivada nos números críticos:
– Em x=-1, f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), logo há um máximo local.
f(-1)=(-1)^5-5(-1)5=-1+55=45
– Em x=1, f' muda de negativo para positivo, logo há um mínimo local.
f(1)=1^5-5cdot15=1-55=-45

Resposta

  1. Números críticos: -1 e 1.
  2. Crescente em (-infty,-1) e (1,infty).
  3. Decrescente em (-1,1).
  4. Côncava para cima em (0,infty).
  5. Côncava para baixo em (-infty,0).
  6. Ponto de inflexão: x=0 (coordenadas (0,0)).
  7. Extremos relativos: máximo em l(-1,tfrac45r), mínimo em l(1,-tfrac45r).

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