Nos itens abaixo, determine:
  1. os números críticos;
  2. os intervalos nos quais fé crescente;
  3. os intervalos nos quais fé decrescente;
  4. os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
  5. os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
  6. as coordenadas x de todos os pontos de inflexão
  7. achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
    f(x)=x^4-4 x^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^4-4x^3
e pede: ( 1) números críticos; ( 2)/( 3) intervalos de crescimento/decrescimento; ( 4)/( 5) intervalos onde f é côncava para cima/para baixo; ( 6) coordenadas x dos pontos de inflexão; ( 7) extremos relativos. Vamos usar a primeira derivada para monotonicidade e a segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(x^4-4x^3r)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)
Os números críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja,
4x^2(x-3)=0Longrightarrow x=0(mu<iplicidade 2),;x=3

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=4x^2(x-3):
  • Para x<0: x^2>0 e x-3<0 to f'(x)<0.
  • Para 0<x<3: x^2>0 e x-3<0 to f'(x)<0.
  • Para x>3: x^2>0 e x-3>0 to f'(x)>0.
    Logo, f é decrescente em (-infty,3) e crescente em (3,infty). Em x=0 não há troca de sinal, então não há extremo aí.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(4x^3-12x^2r)=12x^2-24x=12x(x-2)
As raízes são x=0 e x=2.

Passo 5

Analisamos o sinal de f''(x)=12x(x-2):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 to produto >0 to côncava para cima.
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 to produto <0 to côncava para baixo.
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 to produto >0 to côncava para cima.
    Pontos de inflexão são onde muda o sinal de f'', em x=0 e x=2.

Passo 6

Para extremos relativos, usamos a variação de f':
  • Em x=3, f' passa de negativo para positivo to mínimo local.
    O valor é
f(3)=3^4-4cdot3^3=81-108=-27
Não há máximo local.

Resposta

1) Números críticos: x=0 e x=3.
2) f crescente em (3,infty).
3) f decrescente em (-infty,3).
4) f côncava para cima em (-infty,0)cup(2,infty).
5) f côncava para baixo em (0,2).
6) Pontos de inflexão em x=0 e x=2.
7) Extremo relativo: mínimo local em l(3,-27r); não há máximo local.

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