A carga total Q contida em um volume V \subset \mathbb{R}^{3} com densidade volumétrica de carga \rho(\mathbf{r})=\rho(x, y, z) é dada por
Q=\iiint_{V} \rho(x, y, z) d V
Em coordenadas cartesianas d V=d x d y d z; em coordenadas esféricas d V=r^{2} \sin \theta d r d \theta d \varphi; em coordenadas cilíndricas d V=r d r d \varphi d z. Considere agora um paralelepípedo
V=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b, 0 \leq z \leq c\}
com densidade volumétrica de carga
\rho(x, y, z)=\rho_{0} \frac{x}{a} \frac{y}{b}
onde \rho_{0} é constante \left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right). Calcule a carga total Q em V.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a carga total Q contida no paralelepípedo
Isto é só a tradução direta do enunciado para a integral. Antes de computar, um lembrete útil: quando os limites são produtos (como aqui) e a função se separa em fatores que dependem de variáveis diferentes, podemos usar Fubini e separar as integrais em produto de integrais unidimensionais — isso torna a conta bem mais simples.
Passo 3
Observando a integranda, vemos que ela não depende de z. Então a integral em z é simples:
Aqui eu já coloquei o fator \rho_{0}/(ab) fora das integrais porque é constante em relação a x,y,z.
Passo 4
A função dentro da integral dupla é o produto x\cdot y. Pela separabilidade e pela regra de Fubini, podemos separar a integral dupla como produto de integrais unidimensionais:
Isso acontece porque x depende só de x e y depende só de y, então a integral do produto é o produto das integrais (quando os intervalos são retângulos, como aqui).
Passo 5
Agora calculamos cada integral unidimensional. A primitiva de x é x^{2}/2, então
Interpretação rápida (para fixar): o volume do paralelepípedo é V_{\text{vol}}=abc. A densidade média na região em x,y é \frac{1}{ab}\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\rho_{0}\frac{x}{a}\frac{y}{b}\,dx\,dy=\rho_{0}/4. Assim a carga total é densidade média vezes volume: Q=(\rho_{0}/4)\cdot abc. Isso bate com o resultado calculado — bom para verificar sua intuição.