A carga total Q contida em um volume V \subset \mathbb{R}^{3} com densidade volumétrica de carga \rho(\mathbf{r})=\rho(x, y, z) é dada por
Q=\iiint_{V} \rho(x, y, z) d V
Em coordenadas cartesianas d V=d x d y d z; em coordenadas esféricas d V=r^{2} \sin \theta d r d \theta d \varphi; em coordenadas cilíndricas d V=r d r d \varphi d z. Considere agora um paralelepípedo
V=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b, 0 \leq z \leq c\}
com densidade volumétrica de carga
\rho(x, y, z)=\rho_{0} \frac{x}{a} \frac{y}{b}
onde \rho_{0} é constante \left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right). Calcule a carga total Q em V.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a carga total Q contida no paralelepípedo
V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b,\;0\le z\le c\}
quando a densidade volumétrica de carga é
\rho(x,y,z)=\rho_{0}\frac{x}{a}\frac{y}{b},
onde \rho_{0} é constante (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}). Também nos foi dada a fórmula geral
Q=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV
e que, em coordenadas cartesianas, dV=dx\,dy\,dz. As informações relevantes são, portanto:
\begin{cases} \text{Região: }0\le x\le a,\;0\le y\le b,\;0\le z\le c,\\[4pt] \text{Densidade: }\rho(x,y,z)=\rho_{0}\dfrac{x}{a}\dfrac{y}{b},\\[4pt] \text{Fórmula da carga: }Q=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz. \end{cases}ãó]

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a integral tripla que representa Q usando os limites do paralelepípedo. Substituindo \rho e dV=dx\,dy\,dz temos
Q=\int_{z=0}^{c}\int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a}\rho_{0}\frac{x}{a}\frac{y}{b}\,dx\,dy\,dz.
Isto é só a tradução direta do enunciado para a integral. Antes de computar, um lembrete útil: quando os limites são produtos (como aqui) e a função se separa em fatores que dependem de variáveis diferentes, podemos usar Fubini e separar as integrais em produto de integrais unidimensionais — isso torna a conta bem mais simples.

Passo 3

Observando a integranda, vemos que ela não depende de z. Então a integral em z é simples:
\int_{z=0}^{c}dz = c.
Portanto podemos retirar esse fator e escrever
Q=\rho_{0}\frac{1}{ab}\,c\int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a} x\,y\,dx\,dy.
Aqui eu já coloquei o fator \rho_{0}/(ab) fora das integrais porque é constante em relação a x,y,z.

Passo 4

A função dentro da integral dupla é o produto x\cdot y. Pela separabilidade e pela regra de Fubini, podemos separar a integral dupla como produto de integrais unidimensionais:
\int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a} x\,y\,dx\,dy =\left(\int_{x=0}^{a} x\,dx\right)\left(\int_{y=0}^{b} y\,dy\right).
Isso acontece porque x depende só de x e y depende só de y, então a integral do produto é o produto das integrais (quando os intervalos são retângulos, como aqui).

Passo 5

Agora calculamos cada integral unidimensional. A primitiva de x é x^{2}/2, então
\int_{x=0}^{a} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{2}}{2}.
Analogamente, a primitiva de y é y^{2}/2, então
\int_{y=0}^{b} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{b}=\frac{b^{2}}{2}.

Passo 6

Substituindo essas duas integrais no produto e lembrando do fator externo, obtemos
Q=\rho_{0}\frac{1}{ab}\,c\cdot\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{1}{ab}\cdot\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2} =\frac{a^{2}b^{2}}{4ab}=\frac{ab}{4}.
Portanto
Q=\rho_{0}\,c\cdot\frac{ab}{4}=\rho_{0}\frac{abc}{4}.

Passo 7

Interpretação rápida (para fixar): o volume do paralelepípedo é V_{\text{vol}}=abc. A densidade média na região em x,y é \frac{1}{ab}\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\rho_{0}\frac{x}{a}\frac{y}{b}\,dx\,dy=\rho_{0}/4. Assim a carga total é densidade média vezes volume: Q=(\rho_{0}/4)\cdot abc. Isso bate com o resultado calculado — bom para verificar sua intuição.

Resposta

Q=\rho_{0}\frac{abc}{4}

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