Calcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema de Green:
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
de duas formas: (i) diretamente (parametrizando as partes de
) e (ii) usando o Teorema de Green.
O caminho fechado é a fronteira da região limitada por
e
, tomado no sentido anti-horário. Informações úteis dadas pelo enunciado:
O caminho fechado
- As curvas se intersectam em
, ou seja em e . Portanto os pontos de interseção são e . - Para
vale , logo a parábola é a curva inferior e a reta é a curva superior na região entre elas.
As duas tarefas são: (A) calcular a integral quebrandoem duas partes (parábola e reta) e (B) aplicar o Teorema de Green ao domínio interior.
Passo 2
Cálculo direto — parametrização da parte sobre a parábola
.
Escolho parametrizar a parte inferior
por
pois assim vou de
a
. Como o sentido é anti-horário, ir da esquerda para a direita sobre a curva inferior está correto. Agora calculo
e
:
Substituo na integral:
Simplificando o integrando:
Integro de
a
:
Passo 3
Cálculo direto — parametrização da parte sobre a reta
.
A parte superior
deve ir de
de volta a
para completar o contorno no sentido anti-horário (isto é, da direita para a esquerda ao longo da reta). Parametrizo por
É mais conveniente escrever como
indo de
até
. Aqui
e o integrando fica
Logo
Calculo a integral em
a
:
Portanto
Passo 4
Somando as duas partes para obter a integral sobre todo
:
Assim, o cálculo direto dá
.
Passo 5
Cálculo pelo Teorema de Green (completo e didático).
Enunciado do Teorema de Green (caso planar): se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém
e sua fronteira simples orientada positivamente
, então
Aqui
e
. Calculo as derivadas parciais:
Logo o rotacional integrando é
A região
é aquela entre
e
, com
. Aplicando Green:
Note que a hipótese de orientação positiva (anti-horário) é satisfeita pelo enunciado, então a aplicação de Green é válida.
Passo 6
Comentário didático extra (intuição): o integrando do Teorema de Green saiu zero porque o campo vetorial
tem rotacional nulo na região. Isso também indica que
é gradiente de uma função potencial em qualquer domínio simplesmente conexo que contenha
. De fato uma função potencial é
pois
. Para um campo conservativo a integral ao longo de uma curva fechada é
, concordando com os cálculos anteriores.
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