Questāo 4. Seja f(x, y)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right). Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano z=-x+y e tangente ao gráfico de f(x, y).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes dados diretamente do enunciado.
  • Dado: f(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • Observação importante sobre domínio: \dfrac{y}{x} exige x\neq0, portanto o gráfico está definido apenas para pontos com x\neq0.
  • Pedido: determinar a equação de um plano que seja paralelo ao plano z=-x+y e que seja tangente ao gráfico da função f.
Resumo das perguntas que vou responder: encontrar o(s) ponto(s) (x_0,y_0,z_0) no gráfico de f onde a tangente existe e tem a mesma direção (ou seja, é paralela) ao plano z=-x+y; e escrever a equação desse plano tangente.

Passo 2

Entender como é a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em um ponto (x_0,y_0). A fórmula padrão do plano tangente é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Explico o significado de cada termo:
  • f(x_0,y_0) é a altura z_0 do ponto sobre o gráfico.
  • f_x(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção x naquele ponto (derivada parcial em x).
  • f_y(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção y naquele ponto.
    Essa equação representa o plano que melhor aproxima a superfície perto de (x_0,y_0).

Passo 3

Entender a condição "paralelo ao plano z=-x+y". Escrevendo esse plano na forma padrão:
z = -x + y \quad\Longleftrightarrow\quad x - y + z = 0.
Um plano geral tem forma A x + B y + C z + D = 0; o vetor normal é (A,B,C). Para x-y+z=0 o vetor normal é (1,-1,1).
O plano tangente ao gráfico tem vetor normal dado por (f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0),\,-1) (porque a equação do tangente pode ser rearranjada para f_x (x-x_0)+f_y (y-y_0) - (z-f(x_0,y_0))=0). Para que o plano tangente seja paralelo a x-y+z=0, os vetores normais devem ser proporcionais, i.e. existe \lambda tal que
\bigl(f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0),\,-1\bigr)=\lambda\,(1,-1,1).
Isso gera três equações escalares; vou usá-las para encontrar (x_0,y_0).

Passo 4

Determinar as derivadas parciais de f. Vou explicar passo a passo usando a regra da cadeia.
Defina u=\dfrac{y}{x}. Então f(x,y)=\arctan(u). A derivada de \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^2}. Pela regra da cadeia:
f_x = \frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x},\qquad f_y = \frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} para u=\dfrac{y}{x}:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{y}{x^2},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}.
Agora substituir em f_x,f_y. Note que
\frac{1}{1+u^2}=\frac{1}{1+(y/x)^2}=\frac{1}{\dfrac{x^2+y^2}{x^2}}=\frac{x^2}{x^2+y^2}.
Multiplicando:
f_x = \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2},
f_y = \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2}.
Portanto temos expressões explícitas para as parciais:
f_x(x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2},\qquad f_y(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 5

Aplicar a condição de proporcionalidade dos vetores normais:
\bigl(f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0),\,-1\bigr)=\lambda\,(1,-1,1).
A terceira componente dá imediatamente -1=\lambda\cdot 1, então
\lambda = -1.
Com isso, as duas primeiras componentes viram
f_x(x_0,y_0) = \lambda = -1,\qquad f_y(x_0,y_0) = -\lambda = 1.
Substituindo as fórmulas de f_x,f_y:
-\frac{y_0}{x_0^2+y_0^2} = -1,\qquad \frac{x_0}{x_0^2+y_0^2} = 1.
Simplificando cada uma:
\frac{y_0}{x_0^2+y_0^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = x_0^2 + y_0^2,
\frac{x_0}{x_0^2+y_0^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = x_0^2 + y_0^2.

Passo 6

Resolver o sistema para x_0,y_0. Das duas equações obtém-se
x_0 = x_0^2 + y_0^2,\qquad y_0 = x_0^2 + y_0^2.
Subtraindo as duas igualdades dá x_0 - y_0 = 0, então y_0 = x_0. Substituindo em uma das equações:
x_0 = x_0^2 + x_0^2 = 2x_0^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x_0^2 - x_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0(2x_0-1)=0.
As soluções são x_0=0 ou x_0=\dfrac{1}{2}. Lembre-se da restrição de domínio: x\neq0, então x_0=0 não é válido. Portanto
x_0 = \frac{1}{2},\qquad y_0 = \frac{1}{2}.

Passo 7

Calcular a altura z_0=f(x_0,y_0) e escrever a equação do plano tangente. Primeiro
z_0 = f\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) = \arctan\!\left(\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Usando a forma do plano tangente
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
e sabendo que f_x(x_0,y_0)=-1 e f_y(x_0,y_0)=1, obtemos
z = \frac{\pi}{4} + (-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) + 1\left(y-\frac{1}{2}\right).
Simplificando:
z = \frac{\pi}{4} - x + \frac{1}{2} + y - \frac{1}{2} = -x + y + \frac{\pi}{4}.
Também se pode escrever em forma padrão:
x - y + z = \frac{\pi}{4}.

Resposta

z = -x + y + \dfrac{\pi}{4}

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