Questāo 4. Seja
. Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano
e tangente ao gráfico de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes dados diretamente do enunciado.
- Dado:
. - Observação importante sobre domínio:
exige , portanto o gráfico está definido apenas para pontos com . - Pedido: determinar a equação de um plano que seja paralelo ao plano
e que seja tangente ao gráfico da função .
Resumo das perguntas que vou responder: encontrar o(s) ponto(s)
no gráfico de
onde a tangente existe e tem a mesma direção (ou seja, é paralela) ao plano
; e escrever a equação desse plano tangente.
Passo 2
Entender como é a equação do plano tangente ao gráfico de
em um ponto
. A fórmula padrão do plano tangente é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
. Explico o significado de cada termo:
-
é a altura do ponto sobre o gráfico. -
é a inclinação da superfície na direção naquele ponto (derivada parcial em ). -
é a inclinação da superfície na direção naquele ponto.
Essa equação representa o plano que melhor aproxima a superfície perto de.
Passo 3
Entender a condição "paralelo ao plano
". Escrevendo esse plano na forma padrão:
Um plano geral tem forma
; o vetor normal é
. Para
o vetor normal é
.
O plano tangente ao gráfico tem vetor normal dado por
(porque a equação do tangente pode ser rearranjada para
). Para que o plano tangente seja paralelo a
, os vetores normais devem ser proporcionais, i.e. existe
tal que
Isso gera três equações escalares; vou usá-las para encontrar
.
Passo 4
Determinar as derivadas parciais de
. Vou explicar passo a passo usando a regra da cadeia.
Defina
. Então
. A derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia:
Calcule
e
para
:
Agora substituir em
. Note que
Multiplicando:
Portanto temos expressões explícitas para as parciais:
Passo 5
Aplicar a condição de proporcionalidade dos vetores normais:
A terceira componente dá imediatamente
, então
Com isso, as duas primeiras componentes viram
Substituindo as fórmulas de
:
Simplificando cada uma:
Passo 6
Resolver o sistema para
. Das duas equações obtém-se
Subtraindo as duas igualdades dá
, então
. Substituindo em uma das equações:
As soluções são
ou
. Lembre-se da restrição de domínio:
, então
não é válido. Portanto
Passo 7
Calcular a altura
e escrever a equação do plano tangente. Primeiro
Usando a forma do plano tangente
e sabendo que
e
, obtemos
Simplificando:
Também se pode escrever em forma padrão: