Questão 5. Se
é definida implicitamente por
, onde
é uma funçāo diferenciável, mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá que
é uma função de
e
(ou seja,
) definida implicitamente pela relação
onde
é diferenciável. A pergunta é: mostrar que
Informações relevantes dadas:
-
é diferenciável (portanto possui derivadas parciais e bem definidas). - A igualdade acima vale para todo par
no domínio em que está definida. - A função
é assumida diferenciável (caso contrário a igualdade com derivadas parciais não faria sentido).
Passo 2
Vamos simplificar a notação definindo duas variáveis auxiliares
Essas são exatamente as entradas de
na condição dada. A ideia é aplicar a regra da cadeia à igualdade
considerando
e
como funções de
e
. Primeiro calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
usando a regra do quociente (ou produto com
) de forma detalhada.
Calculemos
. Escrevendo
, pela regra do produto e da cadeia:
Agora
, onde
é
. Portanto
Calculemos
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Análogamente, ao derivar em relação a
:
onde
.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia à igualdade
. Ao derivar em relação a
temos
onde
e
são as derivadas parciais de
avaliadas em
. Substituindo as expressões de
e
obtidas no passo anterior:
Multiplicando por
para simplificar,
Reescrevendo,
Logo
desde que o denominador não seja zero (comentário sobre isso virá adiante).
Passo 4
Derivando
em relação a
e repetindo os mesmos passos (usar as expressões de
e
) obtemos
Multiplicando por
,
ou seja
e portanto
novamente com a mesma condição sobre o denominador.
Passo 5
Agora somamos
vezes a expressão de
com
vezes a expressão de
:
Colocando em evidência o fator comum
,
Assim chegamos exatamente à identidade desejada:
Passo 6
Observação sobre o denominador: nas fórmulas intermediárias apareceu o denominador
. Para que
e
existam e as manipulações acima sejam válidas, esse denominador não pode ser zero no ponto considerado. Essa não nulidade é compatível com a hipótese implícita de que
está definida (e diferenciável) implicitamente pela equação; em contextos formais, a garantia vem do Teorema da Função Implícita aplicado à função
, que exige
. Não precisamos calcular
aqui explicitamente, apenas notar que para
diferenciável a manipulação acima é legítima.