Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e
(b) utilizando o Teorema de Green.
integralC cos y d x+x^2 sen y d y, C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2) e (0,2)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha ∮C cos y dx + x² sen y dy ao longo do contorno C que é o retângulo com vértices (0,0), (5,0), (5,2) e (0,2). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em ℝ² e vamos usar parametrizações das arestas para o método direto e depois aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Para o método direto, dividimos C em quatro arestas orientadas positivamente (sentido anti-horário):
– C₁: (x,y)=(t,0), t∈[0,5]
– C₂: (x,y)=(5,t), t∈[0,2]
– C₃: (x,y)=(t,2), t∈[5,0]
– C₄: (x,y)=(0,t), t∈[2,0]
Em cada aresta calculamos dx, dy, P=cos y e Q=x² sen y.

Passo 3

Na aresta C₁ temos y=0 ⇒ cos y=1, sen y=0, dx=dt, dy=0, logo
integralC₁cos y,dx + x²sen y,dy = integral0^5 1,dt = 5²
Em C₄ x=0 ⇒ ambos os termos são zero, logo a integral em C₄ vale 0.

Passo 4

Em C₂ temos x=5, dx=0, dy=dt, sen y variável:
integralC₂cos y,dx + x²sen y,dy = integral0^2 25,sin y,dt = 25l[-cos yr]0^2 = 25(1-cos2)²
Em C₃ y=2, dy=0, dx=dt com t de 5 a 0:
integralC₃cos y,dx = cos2integral5^0 dt = -5cos2

Passo 5

Somando as quatro parcelas obtemos
5 + 25(1-cos2) -5cos2 + 0 = 30 - 30cos2 = 30(1-cos2)

Passo 6

Pelo Teorema de Green, definindo P(x,y)=cos y e Q(x,y)=x² sen y, temos
partial Qpartial x = 2xsin y, partial Ppartial y = -sin y
Logo o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2xsin y + sin y = (2x+1)sin y

Passo 7

Fazendo a integral dupla sobre D=[0,5]×[0,2]:
$$\iint_D (2x+1)\sin y,dA = \int_0^2\sin y,dy \int_0^5(2x+1),dx.
integral duplaD (2x+1)sin y,dA = integral0^2sin y,dy integral0^5(2x+1),dx 30(1-\cos2).$$

Resposta

30(1-\cos2)

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