Encontre a derivada da função em P0 na direção de A.
g(x, y)=x-(y^2 / x)+raiz3 sec ^-1(2 x y), P0(1,1), A=12 i+5 j

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos a derivada direcional de g(x,y)=x-y^2x+raiz3sec^-1(2xy) no ponto P0=(1,1) na direção de A=(12,5). O conteúdo é derivada direcional em R^2, e vamos usar que a derivada direcional em direção unitária u é dada por Dug(P)=nabla g(P)cdotu.

Passo 2

Primeiro normalizamos A: o módulo é |A|=raiz12^2+5^2=13, então o vetor unitário é u=A|A|=(tfrac1213,tfrac513).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
Para partial gpartial x, derivando termo a termo: de x vem 1; de -y^2x vem +y^2x^2; de raiz3sec^-1(2xy) usamos a regra ddxsec^-1(u)=u'|u|raizu^2-1 com u=2xy, então
partialpartial xl(raiz3sec^-1(2xy)r)=raiz32y|2xy|raiz(2xy)^2-1
Somando,
partial gpartial y
Para -tfracy^2x, de -tfrac2yx vem raiz3sec^-1(2xy) e de raiz32x|2xy|raiz(2xy)^2-1 vem , então

Passo 4

Agora avaliamos em P0=(1,1): temos |2xy|=2 e raiz(2xy)^2-1=raiz3. Substituindo em partial gpartial x obtemos 1+1+1=3, e em partial gpartial y obtemos -2+1=-1. Logo

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar

Resposta

3113

Exercícios relacionados